如图，直角三角形 $ABC$ 外接圆圆心为 $O$，$\angle C=90^\circ $，过 $C$ 作 $AB$ 的垂线，垂足为 $D$，作圆 $O_{1}$ 分别切弧 $\widehat { BC}$、边 $CD$、$DB$ 于 $E$、$F$、$G$，同样作圆 $O_{2}$ 分别切弧 $\widehat {AC}$、边 $CD$、$DA$ 相切，设圆 $O_{1}$ 的半径为 $r_{1}$，圆 $O_{2}$ 半径为 $r_{2}$，$\triangle ABC$ 内切圆半径为 $r$，证明：$r = \dfrac{r_{1} + r_{2}}{2}.$
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
连结 $BE$、$EF$、$FA$、$OO_{1}$、$O_{1}D$、$O_{1}E$，$O_{1}F$，则 $O$、$O_{1}$、$E$ 共线，又因为$$\angle EFO_{1} =\angle FEO_{1} =\dfrac{1}{2}\angle FO_{1}O =\dfrac{1}{2}\angle O_{1}OB = \angle EAB,$$可知 $A$、$F$、$E$ 共线，因此 $\triangle AFD \backsim \triangle ABE$．
所以$$AD\cdot AB=AF \cdot AE.$$又 $AG^2 = AF \cdot AE = AD \cdot AB = AC^2$，故 $AC=AG$．设圆 $O_{2}$ 与边 $AD$ 切于 $H$，同理可得 $BC=BH$．因此，\[\begin{split} r&=\dfrac{AC +BC -AB}{2} \\ &=\dfrac{AG +BH - AB}{2} \\ &=\dfrac{HG}{2}=\dfrac{HD +DG}{2}=\dfrac{r_{1} +r_{2}}{2}. \end{split}\]
所以$$AD\cdot AB=AF \cdot AE.$$又 $AG^2 = AF \cdot AE = AD \cdot AB = AC^2$，故 $AC=AG$．设圆 $O_{2}$ 与边 $AD$ 切于 $H$，同理可得 $BC=BH$．因此，\[\begin{split} r&=\dfrac{AC +BC -AB}{2} \\ &=\dfrac{AG +BH - AB}{2} \\ &=\dfrac{HG}{2}=\dfrac{HD +DG}{2}=\dfrac{r_{1} +r_{2}}{2}. \end{split}\]
答案
解析
备注
