已知椭圆 $G:\dfrac{x^{2}}{4} +y^2 = 1$，直线 $l$ 交椭圆 $G$ 于 $A$、$B$ 两点，且 $\lvert AB \rvert = 2$，判断直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^2 =1$ 的位置关系，并给出证明．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
相切或相交
【解析】
当直线 $l$ 的斜率不存在时，由 $\lvert AB \rvert=2$ 知点 $A$、$B$ 的坐标分别为 $(0,1)$、$(0,-1)$，即直线 $l$ 的方程为 $x = 0$，此时直线 $l$ 与圆 $x^{2} +y^2 =1$ 相交．
当直线 $l$ 的斜率存在时，设直线 $l$ 的方程为 $y = kx +m$．
由$$\begin{cases} y= kx +m,\\ \dfrac{x^{2}}{4} + y^2 =1 ,\end{cases}$$得$$(1+4k^2)x^{2} +8kmx +4m^2 -4 =0.$$设 $A$、$B$ 的坐标分别为 $(x_{1},y_{1})$、$(x_{2},y_{2})$，则$$x_{1} +x_{2} = -\dfrac{8km}{1 +4k^2} , x_{1}x_{2} = \dfrac{4m^2 -4}{1 +4k^2},$$$$\Delta = (8km)^2 -4(4k^2 +1)(4m^2 -4)=16(4k^2 +1 -m^2)>0.$$所以\[\begin{split} \lvert AB \rvert&= \sqrt{(1 +k^2)[(x_{1} +x_{2})^2 -4x_{1}x_{2}]} \\ &=\sqrt{(1 +k^2) \times \dfrac{16(4k^2 +1 -m^2)}{(1 +4k^2)^2}} =2. \end{split}\]从而$$m^2 = (4k^2 +1) - \dfrac{(4k^2 +1)^2}{4(k^2 +1)}.$$而圆 $x^{2} + y^2 =1$ 的半径 $r = 1$，其圆心到直线 $l$ 的距离\[\begin{split} d &= \dfrac{\lvert m \rvert}{\sqrt{k^2 +1}} =\sqrt{\dfrac{4k^2 +1}{k^2 +1} - \dfrac{(4k^2 +1)^2}{4(k^2 +1)^2} }\\&= \sqrt{-\dfrac{1}{4} \left (\dfrac{4k^2 +1}{k^2 +1} -2 \right )^2 +1} \leqslant 1=r. \end{split}\]所以，当 $k^2 =\dfrac{1}{2}$ 时，直线 $l$ 与圆 $x^{2} +y^2 =1$ 相切，当 $k^2 \ne \dfrac{1}{2}$ 时，直线 $l$ 与圆 $x^{2} +y^2 =1$ 相交．
综上，直线 $l$ 与圆 $x^{2} +y^2 =1$ 相切或相交．
当直线 $l$ 的斜率存在时，设直线 $l$ 的方程为 $y = kx +m$．
由$$\begin{cases} y= kx +m,\\ \dfrac{x^{2}}{4} + y^2 =1 ,\end{cases}$$得$$(1+4k^2)x^{2} +8kmx +4m^2 -4 =0.$$设 $A$、$B$ 的坐标分别为 $(x_{1},y_{1})$、$(x_{2},y_{2})$，则$$x_{1} +x_{2} = -\dfrac{8km}{1 +4k^2} , x_{1}x_{2} = \dfrac{4m^2 -4}{1 +4k^2},$$$$\Delta = (8km)^2 -4(4k^2 +1)(4m^2 -4)=16(4k^2 +1 -m^2)>0.$$所以\[\begin{split} \lvert AB \rvert&= \sqrt{(1 +k^2)[(x_{1} +x_{2})^2 -4x_{1}x_{2}]} \\ &=\sqrt{(1 +k^2) \times \dfrac{16(4k^2 +1 -m^2)}{(1 +4k^2)^2}} =2. \end{split}\]从而$$m^2 = (4k^2 +1) - \dfrac{(4k^2 +1)^2}{4(k^2 +1)}.$$而圆 $x^{2} + y^2 =1$ 的半径 $r = 1$，其圆心到直线 $l$ 的距离\[\begin{split} d &= \dfrac{\lvert m \rvert}{\sqrt{k^2 +1}} =\sqrt{\dfrac{4k^2 +1}{k^2 +1} - \dfrac{(4k^2 +1)^2}{4(k^2 +1)^2} }\\&= \sqrt{-\dfrac{1}{4} \left (\dfrac{4k^2 +1}{k^2 +1} -2 \right )^2 +1} \leqslant 1=r. \end{split}\]所以，当 $k^2 =\dfrac{1}{2}$ 时，直线 $l$ 与圆 $x^{2} +y^2 =1$ 相切，当 $k^2 \ne \dfrac{1}{2}$ 时，直线 $l$ 与圆 $x^{2} +y^2 =1$ 相交．
综上，直线 $l$ 与圆 $x^{2} +y^2 =1$ 相切或相交．
答案
解析
备注
