已知不等式 $\ln x - a \left(1 - \dfrac{1}{x} \right ) \geqslant 0$ 对任意的 $x \geqslant 1$ 均成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$(-\infty,1]$
【解析】
由已知，$x\ln x -a (x-1)\geqslant 0$ 对任意的 $x \geqslant 1$ 均成立．
记 $f(x) = x\ln x -a(x-1)$，其中 $x \geqslant 1$．
① 当 $a \leqslant 1$ 时，$f'(x) = \ln x + 1 - a \geqslant 0 +(1-a)\geqslant 0$（其中 $x \geqslant 1$）．
故 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，故 $f(x) \geqslant f(1) = 0$，符合题设；
② 当 $a >1$ 时，若 $1<x<{\rm e}^{a-1}$，则 $f'(x) = \ln x + 1 - a < 0$，故 $f(x)$ 在 $(1,{\rm e}^{a-1})$ 上单调递减，故 $f(x) <f(1) =0$，不符合题设．
综上，$a \leqslant 1$．
记 $f(x) = x\ln x -a(x-1)$，其中 $x \geqslant 1$．
① 当 $a \leqslant 1$ 时，$f'(x) = \ln x + 1 - a \geqslant 0 +(1-a)\geqslant 0$（其中 $x \geqslant 1$）．
故 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，故 $f(x) \geqslant f(1) = 0$，符合题设；
② 当 $a >1$ 时，若 $1<x<{\rm e}^{a-1}$，则 $f'(x) = \ln x + 1 - a < 0$，故 $f(x)$ 在 $(1,{\rm e}^{a-1})$ 上单调递减，故 $f(x) <f(1) =0$，不符合题设．
综上，$a \leqslant 1$．
答案
解析
备注
