如图，$I$、$D$ 分别为 $\triangle ABC$ 的内心、旁心，$BC$ 与圆 $I$、圆 $D$ 相切，切点分别为 $E$、$F$、$G$ 为 $AD$ 与 $BC$ 的交点．（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点．）
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
-
求证：$\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{GE}{GF}$；标注答案略解析如图，作 $IP \perp AB$ 于 $P$，$DQ \perp AB$ 于 $Q$，设圆 $I$、圆 $D$ 的半径分别为 $r$、$R$，则 $\dfrac{AI}{AD} = \dfrac{IP}{DQ} = \dfrac{r}{R}$．
由条件知，$A$、$I$、$D$ 三点共线，$IE \perp BC $，$DF \perp BC$．
则 $IE \parallel DF$，从而有$$\dfrac{GE}{GF} = \dfrac{IE}{DF} = \dfrac{r}{R}.$$所以 $\dfrac{AI}{AD} = \dfrac{GE}{GF}$． -
若 $M$ 为 $EF$ 中点，求证：$AE \parallel DM$．标注答案略解析由 $\dfrac{AI}{AD} = \dfrac{GE}{GF} =\dfrac{GI}{GD}$ 得 $\dfrac{AI + GI}{AD + GD} = \dfrac{GE}{GF}$，即$$\dfrac{AG}{AD + GD} = \dfrac{GE}{GF}.$$则 $\dfrac{AG}{AD + GD - AG} = \dfrac{GE}{GF - GE}$．
因为 $M$ 为 $EF$ 中点，则$$GF - GE = MF + MG - (ME - MG) =2MG,$$所以 $\dfrac{AG}{2DG} =\dfrac{GE}{2MG}$，即 $\dfrac{AG}{DG}=\dfrac{GF}{GM}$．
结合 $\angle EGA = \angle MGD$，可得 $\triangle EGA \backsim \triangle MGD$．因此，$\angle GEA = \angle GMD$．
所以，$AE \parallel DM.$另解 如图，设 $ID$ 的中点为 $N$，则由 $IE \parallel DF$，$M$ 为 $EF$ 中点知，$MN \parallel IE \parallel DF$，且 $MN = \dfrac{1}{2} (DF - IE).$
由 $\dfrac{AI}{AD} = \dfrac{IE}{DF}$，可得 $\dfrac{AI}{AD - AI} = \dfrac{IE}{DF - IE}$，即 $\dfrac{AI}{2DN} = \dfrac{IE}{2MN} $，即 $\dfrac{AI}{DN} = \dfrac{IE}{NM}$．
又 $\angle AIE = \angle DNM$，所以，$\triangle AIE \backsim \triangle DNM$，$\angle EAI = \angle MDN.$
因此，$AE \parallel DM.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
