在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形．求以点 $I(2015,7 \times 2015)$ 为内心且直角顶点在坐标原点 $O$ 的整点直角三角形 $OAB$ 的个数．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$54$
【解析】
不妨设点 $A$ 在第一象限．
设 $\angle xOI = \alpha$，则 $\tan \alpha= 7$，直线 $OA$ 的斜率$$k_{OA} = \tan \left (\alpha - \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\tan \alpha - 1}{1 + \tan \alpha} = \dfrac{7-1}{1+7}=\dfrac{3}{4}.$$所以，$k_{OB} = -\dfrac{4}{3}.$
由 $A$、$B$ 为整点，设 $A (4t_{1},3t_{1})$、$B(-3t_{2},4t_{2})$，其中 $t_{1}$、$t_{2}$ 为正整数．
所以，$\lvert OA \rvert = 5t_{1}$，$\lvert OB \rvert = 5t_{2}$．
因为 $\triangle OAB$ 内切圆的半径$$r = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \lvert OI \rvert = \dfrac{2}{2} \times 5\sqrt{2}
\times 2015 = 5 \times 2015.$$又 $r = \dfrac{\lvert OA \rvert + \lvert OB \rvert - \lvert AB \rvert}{2}$，即$$\lvert AB \rvert = \lvert OA \rvert + \lvert OB \rvert -2r,$$则$$\lvert AB \rvert^2 = (\lvert OA \rvert + \lvert OB \rvert -2r)^2 = \lvert OA \rvert^2 + \lvert OB \rvert^2 .$$所以 $(5t_{1} + 5t_{2} - 2 \times 5 \times 2015)^2 = 25t_{1}^2 +25t_{2}^2.$
即 $(t_{1} + t_{2} -2 \times 2015)^2 = t_{1}^2 + t_{2}^2.$
设 $t_{1} = x + 2015$，$t_{2} = y + 2015$，则$$(x+y)^2 = (x+ 2015)^2 + (y + 2015)^2 ,$$即 $xy = 2015x + 2015y + 2015^2$，即$$(x - 2015)(y - 2015) = 2 \times 2015^2 = 2 \times 5^2 \times 13^2 \times 31^2.$$由 $\lvert OA \rvert >2r$，$\lvert OB \rvert >2r$，知 $x - 2015$、$y - 2015$ 为正整数，又 $2 \times 5^2 \times 13^2 \times 31^2$ 的正因数有 $2 \times 3 \times 3\times 3 = 54$ 个，所以，符号条件的 $(x,y)$ 有 $54$ 组．
因此，符合条件的三角形有 $54$ 个．
设 $\angle xOI = \alpha$，则 $\tan \alpha= 7$，直线 $OA$ 的斜率$$k_{OA} = \tan \left (\alpha - \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\tan \alpha - 1}{1 + \tan \alpha} = \dfrac{7-1}{1+7}=\dfrac{3}{4}.$$所以，$k_{OB} = -\dfrac{4}{3}.$
由 $A$、$B$ 为整点，设 $A (4t_{1},3t_{1})$、$B(-3t_{2},4t_{2})$，其中 $t_{1}$、$t_{2}$ 为正整数．
所以，$\lvert OA \rvert = 5t_{1}$，$\lvert OB \rvert = 5t_{2}$．
因为 $\triangle OAB$ 内切圆的半径$$r = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \lvert OI \rvert = \dfrac{2}{2} \times 5\sqrt{2}
\times 2015 = 5 \times 2015.$$又 $r = \dfrac{\lvert OA \rvert + \lvert OB \rvert - \lvert AB \rvert}{2}$，即$$\lvert AB \rvert = \lvert OA \rvert + \lvert OB \rvert -2r,$$则$$\lvert AB \rvert^2 = (\lvert OA \rvert + \lvert OB \rvert -2r)^2 = \lvert OA \rvert^2 + \lvert OB \rvert^2 .$$所以 $(5t_{1} + 5t_{2} - 2 \times 5 \times 2015)^2 = 25t_{1}^2 +25t_{2}^2.$
即 $(t_{1} + t_{2} -2 \times 2015)^2 = t_{1}^2 + t_{2}^2.$
设 $t_{1} = x + 2015$，$t_{2} = y + 2015$，则$$(x+y)^2 = (x+ 2015)^2 + (y + 2015)^2 ,$$即 $xy = 2015x + 2015y + 2015^2$，即$$(x - 2015)(y - 2015) = 2 \times 2015^2 = 2 \times 5^2 \times 13^2 \times 31^2.$$由 $\lvert OA \rvert >2r$，$\lvert OB \rvert >2r$，知 $x - 2015$、$y - 2015$ 为正整数，又 $2 \times 5^2 \times 13^2 \times 31^2$ 的正因数有 $2 \times 3 \times 3\times 3 = 54$ 个，所以，符号条件的 $(x,y)$ 有 $54$ 组．
因此，符合条件的三角形有 $54$ 个．
答案
解析
备注
