已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} =1$，$a_{n+1} = a_{n} +\dfrac{1}{a_{n}^2} (n \geqslant 2)$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
-
求证：当 $n \geqslant 2$ 时，$a_{n}^3>3n$；标注答案略解析由等式 $a_{n+1} = a_{n} +\dfrac{1}{a_{n}^2} (n \geqslant 2)$ 两边立方得：$$a_{n+1}^3 = a_{n}^3 +3 +\dfrac{3}{a_{n}^3} + \dfrac{1}{a_{n}^6}.$$当 $n=2$ 时，$a_{2} = 2$，$a_{2}^3 = 8$，所以 $a_{n}^3 >3n$；
假设当 $n=k$ 时，结论成立，即 $a_{k}^3 >3k$；
则当 $n=k+1$ 时，$$a_{k+1}^3 = a_{k}^3 +3 +\dfrac{3}{a_{k}^3} + \dfrac{1}{a_{k}^6}>3k +3.$$由数学归纳法，结论成立． -
当 $n \geqslant 4$ 时，求 $[a_{9n^3} ].$（$[x]$ 表示不大于 $x$ 的整数部分）标注答案$[a_{9n^3}] = 3n.$解析由 $(1)$ 知当 $n \geqslant 2$ 时，$a_{9n^3}^3 >3 \times 9n^3 =27n^3$，故 $a_{9n^3} >3n.$
当 $n \geqslant 4$ 时，$\dfrac{1}{a_{n}^3}<\dfrac{1}{3n}$，且 $n \geqslant 2\sqrt{n} \geqslant \sqrt{n} + \sqrt{n-1}$，因此\[\begin{split} a_{n+1}^3 &= a_{1}^3 + 3n +3\left(\dfrac{1}{a_{1}^3} + \dfrac{1}{a_{2}^3} +\cdots+\dfrac{1}{a_{n}^3}\right) +\left(\dfrac{1}{a_{1}^6} +\dfrac{1}{a_{2}^6} +\cdots +\dfrac{1}{a_{n}^6} \right)\\ &<1 +3n +3\left(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{3 \times 2} +\cdots +\dfrac{1}{3 \times n}\right) +\dfrac{1}{1} +\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{2^2} + \cdots +\dfrac{1}{n^2}\right) \\ &<1 +3n +3 +\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{1}{\sqrt{4} +\sqrt{3}} + \cdots +\dfrac{1}{\sqrt{n} +\sqrt{n-1}}\right) +1+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{1\times 2} + \cdots +\dfrac{1}{n \times (n-1)}\right) \\&<1+3n +4 +\sqrt{n} - \sqrt{3} +1 +\dfrac{1}{9}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \\&< 3n +\sqrt{n} +5 .\end{split}\]由此得，当 $n \geqslant 4$ 时，$a_{n}^3 < a_{n+1}^3 <3n + \sqrt{n} +5$，所以\[\begin{split} a_{9n^3}^3 &<27n^3 + \sqrt{9n^3} +5 \\&<27n^3 + 3n^2 +5\\&<27n^3 +27n^2 +9n +1\\&=(3n +1)^3 . \end{split}\]因此 $a_{9n^3}<3n +1$．所以$$3n < a_{9n^3} <3n +1.$$因此 $[a_{9n^3}] = 3n.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
