（50分）设 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，$p>3$．数列 $\{a_{n}\}$ 定义为 $a_{1}=2$，$a_{n}=a_{n-1}+\left[\dfrac{pa_{n-1}}{n}\right],n=2,3,\cdots $．这里 $[x]$ 表示不小于实数 $x$ 的最小整数．证明：对 $n=3,4,\cdots,p-1$ 均有 $n\mid pa_{n-1}+1$ 成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
首先注意，$\{a_{n}\}$ 是整数数列．
对 $n$ 用数学归纳法．当 $n=3$ 时，由条件知 $a_{2}=2+p$，故 $pa_{2}+1=(p+1)^{2}$．因为 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，且 $p>3$，故必须 $3\mid p+1$．因此 $3\mid pa_{2}+1$，即 $n=3$ 时结论成立．
对 $3<n\leqslant p-1$，设对 $k=3,\cdots,n-1$ 成立 $k\mid pa_{k-1}+1$，此时\[\left[\dfrac{pa_{k-1}}{k}\right]=\dfrac{pa_{k-1}+1}{k},\]故\[\begin{split}pa_{k-1}+1&=p\left(a_{k-2}+\left[\dfrac{pa_{k-2}}{k-1}\right]\right)+1\\&=p\left(a_{k-2}+\dfrac{pa_{k-2}+2}{k-1}\right)+1\\&=\dfrac{(pa_{k-2}+1)(p+k-1)}{k-1}.\end{split}\]故对 $3<n\leqslant p-1$，有\[\begin{split}pa_{n-1}+1&=\dfrac{p+n-1}{n-1}(pa_{n-2}+1)\\&=\dfrac{p+n-1}{n-1}\cdot \dfrac{p+n-2}{n-2}(pa_{n-3}+1)\\&=\cdots \\&=\dfrac{p+n-1}{n-1}\cdot \dfrac{p+n-2}{n-2}\cdots \dfrac{p+3}{3}(pa_{2}+1),\end{split}\]因此\[pa_{n-1}+1=\dfrac{2n(p+1)}{(p+n)(p+2)}{\rm C}_{p+n}^{n}.\]由此知（注意 ${\rm C}_{p+n}^{n}$ 是整数）\[n\mid (p+n)(p+2)(pa_{n-1}+1)\cdots\cdots \text{ ① }\]因为 $n<p$，$p$ 是素数，故\[(n,n+p)=(n,0)=1,\]又 $p+2$ 是大于 $n$ 的素数，故 $(n,p+2)=1$，从而 $n$ 与 $(p+n)(p+2)$ 互素，故由 ① 知 $n\mid pa_{n-1}+1$．由数学归纳法知，本题得证．
对 $n$ 用数学归纳法．当 $n=3$ 时，由条件知 $a_{2}=2+p$，故 $pa_{2}+1=(p+1)^{2}$．因为 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，且 $p>3$，故必须 $3\mid p+1$．因此 $3\mid pa_{2}+1$，即 $n=3$ 时结论成立．
对 $3<n\leqslant p-1$，设对 $k=3,\cdots,n-1$ 成立 $k\mid pa_{k-1}+1$，此时\[\left[\dfrac{pa_{k-1}}{k}\right]=\dfrac{pa_{k-1}+1}{k},\]故\[\begin{split}pa_{k-1}+1&=p\left(a_{k-2}+\left[\dfrac{pa_{k-2}}{k-1}\right]\right)+1\\&=p\left(a_{k-2}+\dfrac{pa_{k-2}+2}{k-1}\right)+1\\&=\dfrac{(pa_{k-2}+1)(p+k-1)}{k-1}.\end{split}\]故对 $3<n\leqslant p-1$，有\[\begin{split}pa_{n-1}+1&=\dfrac{p+n-1}{n-1}(pa_{n-2}+1)\\&=\dfrac{p+n-1}{n-1}\cdot \dfrac{p+n-2}{n-2}(pa_{n-3}+1)\\&=\cdots \\&=\dfrac{p+n-1}{n-1}\cdot \dfrac{p+n-2}{n-2}\cdots \dfrac{p+3}{3}(pa_{2}+1),\end{split}\]因此\[pa_{n-1}+1=\dfrac{2n(p+1)}{(p+n)(p+2)}{\rm C}_{p+n}^{n}.\]由此知（注意 ${\rm C}_{p+n}^{n}$ 是整数）\[n\mid (p+n)(p+2)(pa_{n-1}+1)\cdots\cdots \text{ ① }\]因为 $n<p$，$p$ 是素数，故\[(n,n+p)=(n,0)=1,\]又 $p+2$ 是大于 $n$ 的素数，故 $(n,p+2)=1$，从而 $n$ 与 $(p+n)(p+2)$ 互素，故由 ① 知 $n\mid pa_{n-1}+1$．由数学归纳法知，本题得证．
【解析】
无
答案
解析
备注
