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设 $f(x)=A(x^2 - 2x){\rm e}^x-{\rm e}^x+1$，对任意的 $x\leqslant 0$，有 $f(x)\geqslant 0$ 成立，求实数 $A$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$\left\{A\mid A\geqslant -\dfrac 1 2 \right \}$
【解析】
情形一当 $A>0$ 时，有 $f(x)=A(x^2-2x){\rm e}^x-{\rm e}^x+1\geqslant -{\rm e}^x +1 \geqslant 0$，符合题设．
情形二当 $-\dfrac 1 2 \leqslant A \leqslant 0$ 时，有\[f'(x)=A(2x-2){\rm e}^x+A(x^2 - 2x){\rm e}^x - {\rm e}^x=(Ax^2-2A-1){\rm e}^x \leqslant 0,\]从而 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 单调递减，故 $f(x) \geqslant f(0)=0$，符合题设．
情形三当 $A<-\dfrac 1 2$ 时，取 $-\sqrt{2+\dfrac 1 A}<x<0$，有$$f'(x)=(Ax^2 -2A-1){\rm e}^x>0,$$从而 $f(x)$ 在 $\left(-\sqrt{2+\dfrac 1 A},0\right)$ 上单调递增，故 $f(x)<f(0)=0$，不符合题设．
综上，实数 $A$ 的取值范围是 $\left\{A\mid A\geqslant -\dfrac 1 2\right \}$．
答案 解析 备注
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