是否存在实数 $x$ 使 $\tan x + \sqrt 3 $ 与 $\cot x + \sqrt 3 $ 均为有理数？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
不存在，理由略
【解析】
不存在．
设 $p = \tan x + \sqrt 3 $，$q = \cot x + \sqrt 3 $，且 $p$ 和 $q$ 均为有理数．
因为$$\tan x=p-\sqrt 3=\dfrac {1}{\cot x}=\dfrac {1}{q-\sqrt 3},$$于是$$pq-\sqrt 3(p+q)+2=0.$$又因为 $p,q$ 均为有理数，所以$$\begin{cases} p + q = 0,\\pq + 2 = 0,\end{cases}$$解得$$(p,q)=(-\sqrt 2,\sqrt 2)\lor(\sqrt 2,-\sqrt 2),$$与 $ p,q$ 是有理数矛盾．
设 $p = \tan x + \sqrt 3 $，$q = \cot x + \sqrt 3 $，且 $p$ 和 $q$ 均为有理数．
因为$$\tan x=p-\sqrt 3=\dfrac {1}{\cot x}=\dfrac {1}{q-\sqrt 3},$$于是$$pq-\sqrt 3(p+q)+2=0.$$又因为 $p,q$ 均为有理数，所以$$\begin{cases} p + q = 0,\\pq + 2 = 0,\end{cases}$$解得$$(p,q)=(-\sqrt 2,\sqrt 2)\lor(\sqrt 2,-\sqrt 2),$$与 $ p,q$ 是有理数矛盾．
答案
解析
备注
