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  解析几何

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  圆锥曲线中的参数取值及范围问题

$(-1,0)\cup (0,+\infty)$

依题意，可设直线 $AB$ 的方程为 $y=k(x-1)+2$，代入曲线方程并整理得$$(2-k^2)x^2+2k(k-2)x-[(k-2)^2+2\lambda]=0.\quad \cdots\cdots \text{ ① }$$设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $x_1$，$x_2$ 是方程 ① 的两个不同实根，于是可知$$\Delta=4k^2(k-2)^2+4(2-k^2)[(k-2)^2+2\lambda]>0,\quad \cdots\cdots \text{ ② }$$且$$x_1+x_2=\dfrac {2k(2-k)}{2-k^2}.$$又 $N(1,2)$ 是线段 $AB$ 的中点，故$$\dfrac {k(2-k)}{2-k^2}=1,$$解得 $k=1$，故直线 $AB$ 的方程为 $y=x+1$．
将 $k=1$ 代入 ②，得$$4+4(1+2\lambda)>0.$$解得 $\lambda>-1$．
又 $CD$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，故 $CD$ 所在直线的方程是 $y=-x+3$，将其代入双曲线方程，整理得$$x^2+6x-2\lambda -9=0.\quad \cdots\cdots \text{ ③ }$$由题意，方程 ③ 也有两个不同实数根，所以$$\Delta_1=6^2-4(-2\lambda-9)>0,$$解得 $\lambda>-9$．
又 $\lambda \neq 0$，于是可得 $\lambda$ 的取值范围为 $(-1,0)\cup (0,+\infty)$．

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  解析几何

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  圆锥曲线的性质证明问题

$A,B,C,D$ 四点共圆

设 $C(x_3,y_3)$，$D(x_4,y_4)$，线段 $CD$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，则 $x_3$、$x_4$ 是方程 ③ 的两根，所以$$x_3+x_4=-6,x_3x_4=-2\lambda-9,$$于是$$x_0=-3,y_0=6,$$所以由弦长公式得\[\begin{split}|CD|&=\sqrt {1+(-1)^2}|x_3-x_4|\\&=\sqrt 2\sqrt{(x_3+x_4)^2-4x_3x_4}\\&=4\sqrt {9+\lambda}.\end{split}\]因为方程 ① 即$$x^2-2x-2\lambda-1=0,$$同理可得$$|AB|=4\sqrt {1+\lambda}.$$显然 $|AB|<|CD|$，又 $CD$ 是 $AB$ 的垂直平分线，假设存在 $\lambda \in (-1,0)\cup (0,+\infty)$ 使得 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点共圆，则 $CD$ 必为该圆的直径，点 $M$ 为圆心．
点 $M$ 到直线 $AB$ 的距离为$$d=\dfrac {|x_0-y_0+1|}{\sqrt 2}=\dfrac {|-3-6+1|}{\sqrt 2}=4\sqrt 2,$$由勾股定理得\[\begin{split}|MA|^2&=|MB|^2\\&=d^2+\left(\dfrac {|AB|}{2}\right)^2\\&=36+4\lambda.\end{split}\]又因为$$ \left(\dfrac {|CD|}{2}\right)^2=36+4\lambda,$$所以$$|MA|^2 =|MB|^2=|MC|^2=|MD|^2.$$因此，当 $\lambda \in (-1,0)\cup (0,+\infty)$ 时，$A$，$B$，$C$，$D$ 四点均在以 $M(-3,6)$ 为圆心，$2\sqrt{9+\lambda}$ 为半径的圆上．