已知函数 $f(x)=\ln(ax+1)+\dfrac{1-x}{1+x}(x\geqslant0)$ 的最小值为 $1$，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[2,+\infty)$
【解析】
求导得$$f'(x)=\dfrac{a}{ax+1}-\dfrac{2}{(1+x)^2}=\dfrac{ax^2+a-2}{(ax+1)(1+x)^2}.$$因为$$f(0)=1=\min\{f(x)\},$$所以 $f'(x)\geqslant 0$ 在 $x\geqslant 0$ 上恒成立，所以$$(ax^2+a-2)(ax+1)\geqslant 0,$$即$$\begin{cases}a-2\geqslant 0,\\a\geqslant 0,\end{cases}$$解得 $a\geqslant 2$，所以实数 $a$ 的取值范围是 $[2,+\infty)$．
答案
解析
备注
