设数列 $\dfrac 11,\dfrac 12,\dfrac 21,\dfrac 13,\dfrac 22,\dfrac 31,\cdots ,\dfrac 1k,\dfrac{2}{k-1},\cdots ,\dfrac k1,\cdots$．问：
【难度】
【出处】
2010年浙江省高中数学竞赛
【标注】
-
这个数列第 $2010$ 项的值是多少；标注答案$\dfrac{57}{7}$解析将数组分组：$$\left(\dfrac 11\right),\left(\dfrac 12,\dfrac 21\right),\left(\dfrac 13,\dfrac 22,\dfrac 31\right),\cdots ,\left(\dfrac 1k,\dfrac 2{k-1},\cdots ,\dfrac k1\right),\cdots $$因为\[\begin{split}&1+2+3+\cdots +62=1953,\\ & 1+2+3+\cdots +63=2016,\end{split}\]所以数列的第 $2010$ 项属于第 $63$ 组倒数第 $7$ 个数，即为 $\dfrac{57}{7}$．
-
在这个数列中，第 $2010$ 个值为 $1$ 的项的序号是多少．标注答案$8076181$解析由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个 $1$，所以第 $2010$ 个 $1$ 出现在第 $4019$ 组．
因为第 $4019$ 组中的 $1$ 位于该组第 $2010$ 位，所以第 $2010$ 个值为 $1$ 的项的序号为$$(1+2+3+\cdots+4018)+2010=8076181.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
