$\dfrac{32\sqrt 3}{9}$

由条件知，抛物线 $C$ 的方程为 $y^8=8x$，直线 $l_1$ 的方程为 $y=x-m$，点 $Q$ 的坐标为 $(-m,0)$．
由$$\begin{cases}y=x-m,\\ y^2=8x,\end{cases}$$得$$x^2-2(m+4)x+m^2=0.$$由 ① 式的判别式 $\Delta >0$ 得 $m>-2$．
设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$$x_1+x_2=2(m+4),x_1x_2=m^2,$$所以\[\begin{split}|AB|&=\sqrt{1+1^2}\cdot |x_1-x_2|\\ &=\sqrt 2 \cdot \sqrt{4(m+4)^2-4m^2}\\ &=8\sqrt{m+2}.\end{split}\]又因为点 $Q(-m,0)$ 到直线 $l_1$ 的距离 $d=\sqrt 2 \cdot |m|$，所以$$S_{\triangle{QAB}}=\dfrac 12 \cdot \sqrt 2 \cdot |m|\cdot 8\sqrt{m+2}=4\sqrt 2 \cdot \sqrt{m^3+2m^2},$$其中 $-2<m<0$．
记 $f(m)=m^3+2m^2$，则$$f'(m)=3m^2+4m,$$所以当 $-2<m<-\dfrac 43$ 时，$f'(m)>0$；当 $-\dfrac 43 <m<0$ 时，$f'(m)<0$．
故 $f(m)$ 在区间 $\left(-2,-\dfrac 43\right]$ 上为增函数，在区间 $\left[-\dfrac 43,0\right)$ 上为减函数，所以当 $m=-\dfrac 43$ 时，$f(m)$ 取最大值 $\dfrac{32}{27}$．
因此，$\triangle{QAB}$ 面积的最大值为 $\dfrac{32\sqrt 3}{9}$．

存在，$(-m,0)$

$l_2$ 的方程为 $y=k(x-m)$，与抛物线方程联立得$$k^2x^2-2(mk^2+4)x+k^2m^2=0.\cdots {\text{ ② }}$$设 $M(x_3,y_3)$，$N(x_4,y_4)$，则$$x_3+x_4=\dfrac{2mk^2+8}{k^2},x_3x_4=m^2.$$设点 $T$ 存在，其坐标为 $(t,0)$．
由 $TM,TN$ 与 $x$ 轴所成的锐角相等知 $k_{TM}+k_{TN}=0$，即$$\dfrac{y_3}{x_3-t}+\dfrac{y_4}{x_4-t}=0,$$于是$$\dfrac{k(x_3-m)}{x_3-t}+\dfrac{k(x_4-m)}{x_4-t}=0,$$化简得$$2x_3x_4-(m+t)(x_3+x_4)+2mt=0,$$所以$$2m^2-(m+t)\cdot \dfrac{2mk^2+8}{k^2}+2mt=0,$$整理得 $t=-m$．
因此，符合条件的点 $T$ 存在，其坐标为 $(-m,0)$．