设正实数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求证：$\sqrt{a^2+\dfrac1a}+\sqrt{b^2+\dfrac1b}\geqslant3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对任意 $a\in(0,1)$，由均值不等式，$$4a+\dfrac1a\geqslant2\sqrt{4a\cdot\dfrac1a}=4,$$因此，$$\sqrt{a^2+\dfrac1a}=\sqrt{a^2-4a+4a+\dfrac1a}\geqslant\sqrt{a^2-4a+4}=2-a.$$同理，对于任意 $b\in(0,1)$，$$\sqrt{b^2+\dfrac1b}\geqslant2-b,$$因此$$\sqrt{a^2+\dfrac1a}+\sqrt{b^2+\dfrac1b}\geqslant2-a+2-b=3.$$
答案
解析
备注
