2016年全国高中数学联赛山西省预赛

证明略，等号成立的条件是或者 $n$ 是一位数；或者 $n$ 可表示为 $n=\overline{r {\underbrace{99\cdots9}_{k\text{个}9}}}$ 形式 $(k \geqslant 0, 1\leqslant r \leqslant 9)$

对正整数 $n$ 的位数使用数学归纳法；当 $n$ 是一位数时（即 $1\leqslant n<10$），所证式等号显然成立，这是由于，此时 $n$ 的十进制表达式中只有一位数字 $n$，即 $a_n=1$，其余 $a_j=0,(j\ne n)$，于是，左 $=(n+1)^1=$ 右．
假设当正整数 $n$ 不超过 $k$ 位（即 $n<10^k$）时，结论皆成立．
今考虑 $n$ 为 $k+1$ 位数（即 $10^k \leqslant n <10^{k+1}$）时的情况．
设 $n$ 的首位数字为 $r$，则\[n=r \cdot 10^k + n_1,0 \leqslant n_1 \leqslant 10^k - 1.\qquad \qquad \text{ ① }\]如果 $n_1 = 0$，则在数 $n$ 的各位数字中，$a_r = 1$，其余 $a_j = 0(j \ne r)$，显然有 ${(r+1)^{a_r}}<n + 1$；
若 $1\leqslant n_1\leqslant 10^k -1$，记 $n_1$ 的各位数字中含有 $a_1$ 个 $1$，$a_2$ 个 $2, \cdots, a_r$ 个 $r, \cdots, a_9$ 个 $9$，则 $n$ 的各位数字中，含有 $a_r +1$ 个 $r, a_j$ 个 $j,(1\leqslant j\leqslant 9, j \ne r)$；
因正整数 $n_1$ 不超过 $k$ 位，据归纳假设，对 $n_1$ 有\[2^{a_1} \cdot 3^{a_2} \cdot 4^{a_3} \cdot \cdots \cdot (r+1)^{a_r} \cdot \cdots \cdot 10^{a_9} \leqslant n_1 +1,\]所以\[\begin{split}&2^{a_1} \cdot 3^{a_2} \cdot 4^{a_3} \cdot \cdots \cdot (r+1)^{a_r+1} \cdot \cdots \cdot 10^{a_9}\\& \leqslant (r +1)(n_1 +1)=r(n_1 +1)+n_1 +1\qquad \qquad \text{ ② }\\&\leqslant r \cdot 10^k + n_1 +1 = n+1.\end{split}\]即当 $n$ 为 $k+1$ 位数时结论也成立，故由数学归纳法，对一切正整数 $n$，结论皆成立．
欲使等号成立，由证明过程可知：（i）或者 $n$ 是一位数；（ii）在 $n$ 的位数 $\geqslant 2$ 时，据\text{ ② }式，必须 $n_1 + 1=10^k$，此时由\text{ ① }得，\[n=r \cdot 10^k + 10^k - 1,(1 \leqslant r \leqslant 9).\]总之，$n$ 可表示为 $n=\overline{r {\underbrace{99\cdots9}_{k\text{个}9}}}$ 形式 $(k \geqslant 0, 1\leqslant r \leqslant 9)$．
上述条件也是充分的，当 $n$ 能够表成以上形式时，有 $a_r = 1, a_9 = k$，其余 $a_j = 0$，则\[2^{a_1} \cdot 3^{a_2} \cdot 4^{a_3} \cdot \cdots \cdot (r+1)^{a_r} \cdot \cdots \cdot 10^{a_9}=(r+1)^1 \cdot 10^k = n+1.\]