$\triangle ABC$ 中，$M$、$N$ 分别是边 $AB$、$AC$ 上的点，且满足 $\dfrac {BM}{MA} + \dfrac{CN}{NA}=1$．证明：线段 $MN$ 经过 $\triangle ABC$ 的重心．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
取 $AC$ 的中点 $D$，由于 $\dfrac{CN}{NA}<1=\dfrac{CD}{DA}$，则点 $N$ 在线段 $CD$ 内，故线段 $BD$ 与线段 $MN$ 相交，设交点为 $G$．下面证明，此交点 $G$ 就是 $\triangle ABC$ 的重心．因 $MN$ 截 $\triangle ABD$，由梅涅劳斯定理 $\dfrac{DG}{GB}\cdot \dfrac{BM}{MA}\cdot \dfrac{AN}{ND}=1$，于是\[\begin{split}\dfrac{BG}{GD}&= \dfrac{BM}{MA}\cdot \dfrac{AN}{ND}=\left(1-\dfrac{CN}{NA}\right)\cdot \dfrac{AN}{ND}\\&=\dfrac{NA-CN}{ND}=\dfrac{(2CD-CN)-CN}{ND}\\&=\dfrac{2(CD-CN)}{ND}=2.\end{split}\]由于点 $G$ 在中线 $BD$ 上，则 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心．即 $MN$ 经过 $\triangle ABC$ 的重心．
答案
解析
备注
