已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>1$），$\mathrm{Rt}\triangle{ABC}$ 以 $A(0,1)$ 为直角顶点，边 $AB,BC$ 与椭圆交于两点 $B,C$．若 $\triangle{ABC}$ 面积的最大值为 $\dfrac{27}{8}$，求 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
不妨设 $AB$ 的方程 $y=kx+1(k>0)$，则 $AC$ 的方程为 $y=-\dfrac 1k x+1$．
由$$\begin{cases}y=kx+1,\\ \dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1,\end{cases}$$得$$(1+a^2k^2)x^2+2a^2kx=0,$$所以$$x_B=\dfrac{-2a^2k}{1+a^2k^2}.$$由$$\begin{cases}y=-\dfrac 1k x +1,\\ \dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1,\end{cases}$$得$$(a^2+k^2)x^2-2a^2kx=0,$$所以$$x_C=\dfrac{2a^2k}{a^2+k^2},$$从而有\[\begin{split}&|AB|=\sqrt{1+k^2}\dfrac{2a^2k}{1+a^2k^2},\\ &|AC|=\sqrt{1+\dfrac 1{k^2}}\dfrac{2a^2k}{a^2+k^2},\end{split}\]于是\[\begin{split}S_{\triangle{ABC}}&=\dfrac 12 |AB|\cdot |AC|\\&=2a^4\dfrac{k(1+k^2)}{(1+a^2k^2)(a^2+k^2)}\\&=2a^4\dfrac{k+\dfrac 1k}{a^2\left(k^2+\dfrac 1{k^2}\right)+a^4+1}.\end{split}\]令 $t=k+\dfrac 1k\geqslant 2$，有\[\begin{split}S_{\triangle{ABC}}&=\dfrac{2a^4t}{a^2t^2+(a^2-1)^2}\\&=\dfrac{2a^4}{a^2t+\dfrac{(a^2-1)^2}{t}}.\end{split}\]因为$$a^2t+\dfrac{(a^2-1)^2}{t}\geqslant 2a(a^2-1),$$当 $t=\dfrac{a^2-1}{a}$ 时等号成立，因此当 $t=\dfrac{a^2-1}{a}$ 时，$$(S_{\triangle{ABC}})_{\max}=\dfrac{a^3}{a^2-1}=\dfrac {27}{8},$$于是$$(a-3)(8a^2-3a-9)=0,$$所以$$a=3\lor \dfrac{3+\sqrt{297}}{16}.$$由 $\dfrac{a^2-1}{a}>2$ 得 $a>1+\sqrt 2$，所以 $a=\dfrac{3+\sqrt{297}}{16}$ 不合题意，舍去．
因此 $a=3$．
由$$\begin{cases}y=kx+1,\\ \dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1,\end{cases}$$得$$(1+a^2k^2)x^2+2a^2kx=0,$$所以$$x_B=\dfrac{-2a^2k}{1+a^2k^2}.$$由$$\begin{cases}y=-\dfrac 1k x +1,\\ \dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1,\end{cases}$$得$$(a^2+k^2)x^2-2a^2kx=0,$$所以$$x_C=\dfrac{2a^2k}{a^2+k^2},$$从而有\[\begin{split}&|AB|=\sqrt{1+k^2}\dfrac{2a^2k}{1+a^2k^2},\\ &|AC|=\sqrt{1+\dfrac 1{k^2}}\dfrac{2a^2k}{a^2+k^2},\end{split}\]于是\[\begin{split}S_{\triangle{ABC}}&=\dfrac 12 |AB|\cdot |AC|\\&=2a^4\dfrac{k(1+k^2)}{(1+a^2k^2)(a^2+k^2)}\\&=2a^4\dfrac{k+\dfrac 1k}{a^2\left(k^2+\dfrac 1{k^2}\right)+a^4+1}.\end{split}\]令 $t=k+\dfrac 1k\geqslant 2$，有\[\begin{split}S_{\triangle{ABC}}&=\dfrac{2a^4t}{a^2t^2+(a^2-1)^2}\\&=\dfrac{2a^4}{a^2t+\dfrac{(a^2-1)^2}{t}}.\end{split}\]因为$$a^2t+\dfrac{(a^2-1)^2}{t}\geqslant 2a(a^2-1),$$当 $t=\dfrac{a^2-1}{a}$ 时等号成立，因此当 $t=\dfrac{a^2-1}{a}$ 时，$$(S_{\triangle{ABC}})_{\max}=\dfrac{a^3}{a^2-1}=\dfrac {27}{8},$$于是$$(a-3)(8a^2-3a-9)=0,$$所以$$a=3\lor \dfrac{3+\sqrt{297}}{16}.$$由 $\dfrac{a^2-1}{a}>2$ 得 $a>1+\sqrt 2$，所以 $a=\dfrac{3+\sqrt{297}}{16}$ 不合题意，舍去．
因此 $a=3$．
答案
解析
备注
