数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$a_n=\dfrac {1}{a_{n+1}}-\dfrac 12$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$a_n \geqslant \dfrac 23$；标注答案略解析由已知得 $a_{n+1}=\dfrac {1}{a_n+\dfrac 12}$，计算 $a_2=\dfrac 23$，$a_3=\dfrac 67$，$a_4=\dfrac {14}{19}$，猜想 $\dfrac 23\leqslant a_n \leqslant 1$，下面用数学归纳法证明．
① 当 $n=1$ 时，命题显然成立；
② 假设当 $n=k$ 时成立，即 $\dfrac 23\leqslant a_k \leqslant 1$，则$$a_{k+1}=\dfrac {1}{a_k+\dfrac 12}\leqslant \dfrac {1}{\dfrac 23 +\dfrac {1}{2}}<1,$$$$ a_{k+1}=\dfrac {1}{a_k+\dfrac 12}\geqslant \dfrac {1}{1+\dfrac {1}{2}} =\dfrac 23. $$即当 $n=k+1$ 时也成立．
所以对任何 $n\in \mathbb N^*$ 都有 $\dfrac 23\leqslant a_n \leqslant 1$． -
求证：$ |a_{2n}-a_n|<\dfrac {10}{27}$．标注答案略解析当 $n=1$ 时，$|a_2-a_1|=\dfrac 13 =\dfrac {9}{27}<\dfrac {10}{27}$．
当 $n \geqslant 2$ 时，因为\[\begin{split}\left(a_n+\dfrac 12\right)\left(a_{n-1}+\dfrac 12\right)&=\left(a_n+\dfrac 12\right)\dfrac {1}{a_n}\\&=1+\dfrac {1}{2a_n}\\&\geqslant 1+\dfrac 12=\dfrac 32.\end{split}\]所以\[\begin{split}|a_{n+1}-a_n|&=\left|\dfrac {1}{a_{n}+\dfrac 12}-\dfrac {1}{ a_{n-1}+\dfrac 12}\right|\\ &=\dfrac {|a_n-a_{n-1}|}{\left(a_n+\dfrac 12\right)\left(a_{n-1}+\dfrac 12\right)}\\&\leqslant \dfrac {2}{3}|a_n-a_{n-1}| \leqslant \cdots \leqslant \left(\dfrac 23\right)^{n-1}|a_2-a_1|\\ &=\dfrac 13 \left(\dfrac 23\right)^{n-1}.\end{split}\]\[\begin{split}|a_{2n }-a_n|& \leqslant |a_{2n}-a_{2n-1}|+|a_{2n-1}-a_{2n-2}|+\cdots +|a_{ n+1}-a_{ n }|\\ & \leqslant \dfrac 13 \left(\dfrac 23\right)^{2n-2}+\dfrac 13 \left(\dfrac 23\right)^{2n-3}+\cdots +\dfrac 13 \left(\dfrac 23\right)^{n-1}\\&= \left(\dfrac 23\right)^{n-1}- \left(\dfrac 23\right)^{2n-1}\\ &\leqslant \dfrac 23- \left(\dfrac 23\right)^{3}=\dfrac {10}{27}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
