已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^2}$，求证：$a_{2015}>18$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对所给递推式两边三次方得$$a_{n+1}^3=a_n^3+3a_n^2\cdot\dfrac 1{a_n^2}+3a_n\cdot\dfrac 1{a_n^4}+\dfrac 1{a_n^6}>a_n^3+3,$$所以有\[\begin{split} &a_{2015}^3-a_{2014}^3>3,\\&a_{2014}^3-a_{2013}^3>3,\\&\cdots,\\&a_{2}^3-a_{1}^3>3,\end{split}\]累加得$$a_{2015}^3>1+3\times 2014=6053,$$所以 $a_{2015}>18$．
答案
解析
备注
