求所有的整数对 $(a,b)$，使得存在整数 $d>1$，对任意正整数 $n$，都有 $d\left| {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+1 \right.$
【难度】
【出处】
2012第11届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
若存在 $d$ 满足题设，且 $d$ 不是素数，则 $d$ 的任一素因子 $p$ 也满足题设。下仅考虑 $p$ 为素数的情形。
a）若 $a,b$ 均不是 $d$ 的倍数，即 $(a,d)=(b,d)=1$，则 ${{a}^{d-1}}\equiv 1(\bmod d)$，${{b}^{d-1}}\equiv1(\bmod d)$ 。从而 ${{a}^{d-1}}+{{b}^{d-1}}+1\equiv 3(\bmod d)$，$d\left| 3 \right.$，$d=3$ 。此时对应的整数对 $(a,b)$ 满足 $a\equiv b\equiv 1(\bmod 3)$ 。
b）若 $a,b$ 均为 $d$ 的倍数，则 ${{a}^{n}}+{{b}^{n}}+1\equiv 1(\bmod d)$，$d\left| 1 \right.$，与 $d>1$ 矛盾！
c）若 $a,b$ 中恰有一个为 $d$ 的倍数，不妨设 $d\left| a \right.$，$(b,d)=1$，则 ${{b}^{d-1}}\equiv 1(\bmod d)$，${{a}^{d-1}}+{{b}^{d-1}}+1\equiv 2(\bmod d)$ 。从而，$d\left| 2 \right.$，$d=2$ 。此时对应的整数对 $(a,b)$ 满足：$a,b$ 一个为奇数，另一个为偶数。
综上，所有满足条件的整数对 $(a,b)$ 满足：$a$ 和 $b$ 一奇一偶或者 $a\equiv b\equiv 1(\bmod 3)$
a）若 $a,b$ 均不是 $d$ 的倍数，即 $(a,d)=(b,d)=1$，则 ${{a}^{d-1}}\equiv 1(\bmod d)$，${{b}^{d-1}}\equiv1(\bmod d)$ 。从而 ${{a}^{d-1}}+{{b}^{d-1}}+1\equiv 3(\bmod d)$，$d\left| 3 \right.$，$d=3$ 。此时对应的整数对 $(a,b)$ 满足 $a\equiv b\equiv 1(\bmod 3)$ 。
b）若 $a,b$ 均为 $d$ 的倍数，则 ${{a}^{n}}+{{b}^{n}}+1\equiv 1(\bmod d)$，$d\left| 1 \right.$，与 $d>1$ 矛盾！
c）若 $a,b$ 中恰有一个为 $d$ 的倍数，不妨设 $d\left| a \right.$，$(b,d)=1$，则 ${{b}^{d-1}}\equiv 1(\bmod d)$，${{a}^{d-1}}+{{b}^{d-1}}+1\equiv 2(\bmod d)$ 。从而，$d\left| 2 \right.$，$d=2$ 。此时对应的整数对 $(a,b)$ 满足：$a,b$ 一个为奇数，另一个为偶数。
综上，所有满足条件的整数对 $(a,b)$ 满足：$a$ 和 $b$ 一奇一偶或者 $a\equiv b\equiv 1(\bmod 3)$
答案
解析
备注
