有一个无穷正整数数列 ${{a}_{1}}\leqslant{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{3}}\leqslant \cdots $ 。已知存在正整数 $k$ 和 $r$，使得 $\frac{r}{{{a}_{r}}}=k+1$，求证：存在正整数 $s$，使得 $\frac{s}{{{a}_{s}}}=k$ 。
【难度】
【出处】
2012第11届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 ${{a}_{r}}=x$，则 $r=(k+1)x$ 。下证表达式 $\frac{k}{{{a}_{k}}},\frac{2k}{{{a}_{2k}}},\cdots,\frac{xk}{{{a}_{xk}}}$ 中一定有一项等于 $k$ 。
假设上述各项都不等于 $k$ 。则 ${{a}_{k}}\ne1,{{a}_{2k}}\ne 2,\cdots ,{{a}_{xk}}\ne x$ 。注意到 ${{a}_{1}}\leqslant{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{3}}\leqslant \cdots $ 都是正整数。因此，由 ${{a}_{k}}\ne1$ 得 ${{a}_{k}}>1$ 。由 ${{a}_{2k}}\geqslant{{a}_{k}}>1$ 及 ${{a}_{2k}}\ne 2$ 知 ${{a}_{2k}}>2$ 。依此类推分别得 ${{a}_{3k}}>3,\cdots,{{a}_{xk}}>x$，这与 ${{a}_{xk}}\leqslant{{a}_{(k+1)x}}={{a}_{r}}=x$ 矛盾。这表明，上述表达式中一定有一项等于 $k$，不妨设 $\frac{ik}{{{a}_{ik}}}=k$，取 $s=ik$ 即可，命题得证。
假设上述各项都不等于 $k$ 。则 ${{a}_{k}}\ne1,{{a}_{2k}}\ne 2,\cdots ,{{a}_{xk}}\ne x$ 。注意到 ${{a}_{1}}\leqslant{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{3}}\leqslant \cdots $ 都是正整数。因此，由 ${{a}_{k}}\ne1$ 得 ${{a}_{k}}>1$ 。由 ${{a}_{2k}}\geqslant{{a}_{k}}>1$ 及 ${{a}_{2k}}\ne 2$ 知 ${{a}_{2k}}>2$ 。依此类推分别得 ${{a}_{3k}}>3,\cdots,{{a}_{xk}}>x$，这与 ${{a}_{xk}}\leqslant{{a}_{(k+1)x}}={{a}_{r}}=x$ 矛盾。这表明，上述表达式中一定有一项等于 $k$，不妨设 $\frac{ik}{{{a}_{ik}}}=k$，取 $s=ik$ 即可，命题得证。
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备注
