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略

用反证法，假设命题不成立，则存在实数 $a,b$，使得属于区间 $[0,1]$ 的任意实数 $x,y$，均有$$|xy-ax-by|<\dfrac{1}{3}.$$分别取实数对 $(x,y)=(1,0),(0,1),(1,1),$ 可得$$|a|<\dfrac{1}{3},|b|<\dfrac{1}{3},|1-a-b|<\dfrac{1}{3}.$$但是，由 $|a|<\dfrac{1}{3},|b|<\dfrac{1}{3}$ 可得$$|1-a-b|>1-|a+b|>1-|a|-|b|>\dfrac{1}{3},$$此与 $|1-a-b|<\dfrac{1}{3}$ 矛盾．从而命题得证．
下面证明：如果命题中的 $\dfrac{1}{3}$ 改为比 $\dfrac{1}{3}$ 大的任意实数 $c$，则命题不成立，即存在实数 $a,b$，使得任意 $x,y\in[0,1]$，有$$|xy-ax-by|<c.$$事实上，可取 $a=b=\dfrac{1}{3}$．由于$$xy-ax-by= \dfrac{1}{3}[xy-x(1-y)-y(1-x)],$$所以，对任意 $x,y\in[0,1]$，有$$|xy-ax-by|\leqslant\dfrac{1}{3}\max[xy,x(1-y)+y(1-x)].$$又 $0\leqslant xy\le1$，$0\leqslant x(1-y)+y(1-x)\leqslant x+(1-x)=1$，所以$$|xy-ax-by|\leqslant\dfrac{1}{3}<c.$$