已知 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots,{{a}_{n}}$ 均为非负整数，求证：$\frac{1}{1+{{a}_{1}}}+\frac{{{a}_{1}}}{(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})}+\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}{(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})(1+{{a}_{3}})}+\cdots+\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n-1}}}{(1+{{a}_{1}})(1+{{a}_{2}})\cdots(1+{{a}_{n}})}\leqslant 1$
【难度】
【出处】
2012第11届CGMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
$\begin{align}
&\text{left=}\left( 1-\frac{{{a}_{1}}}{1+{{a}_{1}}} \right)+\left(\frac{{{a}_{1}}}{1+{{a}_{1}}}-\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}{\left( 1+{{a}_{1}}\right)\left( 1+{{a}_{2}} \right)} \right)+\cdots + \\
& \left(\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n-1}}}{\left( 1+{{a}_{1}} \right)\left(1+{{a}_{2}} \right)\cdots \left( 1+{{a}_{n-1}}\right)}-\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n}}}{\left( 1+{{a}_{1}}\right)\left( 1+{{a}_{2}} \right)\cdots \left( 1+{{a}_{n}} \right)} \right) \\
& =1-\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots{{a}_{n}}}{\left( 1+{{a}_{1}} \right)\left( 1+{{a}_{2}} \right)\cdots \left(1+{{a}_{n}} \right)}\leqslant 1
\end{align}$
&\text{left=}\left( 1-\frac{{{a}_{1}}}{1+{{a}_{1}}} \right)+\left(\frac{{{a}_{1}}}{1+{{a}_{1}}}-\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}{\left( 1+{{a}_{1}}\right)\left( 1+{{a}_{2}} \right)} \right)+\cdots + \\
& \left(\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n-1}}}{\left( 1+{{a}_{1}} \right)\left(1+{{a}_{2}} \right)\cdots \left( 1+{{a}_{n-1}}\right)}-\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots {{a}_{n}}}{\left( 1+{{a}_{1}}\right)\left( 1+{{a}_{2}} \right)\cdots \left( 1+{{a}_{n}} \right)} \right) \\
& =1-\frac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}\cdots{{a}_{n}}}{\left( 1+{{a}_{1}} \right)\left( 1+{{a}_{2}} \right)\cdots \left(1+{{a}_{n}} \right)}\leqslant 1
\end{align}$
答案
解析
备注
