设 $a\in(0,1),b\in(0,1)$，求证：$$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{(1-a)^2+b^2}+\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2}\geqslant 2\sqrt{2}.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由二维三角不等式得
$\begin{align}&\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{(1-a)^2+b^2}+\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2}\\&=(\sqrt{(a-1)^2+(b-1)^2}+\sqrt{a^2+b^2})+(\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{a^2+(b-1)^2})\\&\geqslant \sqrt{(a-1-a)^2+(b-1-b)^2}+\sqrt{(a-1-a)^2+(b-b+1)^2}\\&
=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
\end{align}$
$\begin{align}&\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{(1-a)^2+b^2}+\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2}\\&=(\sqrt{(a-1)^2+(b-1)^2}+\sqrt{a^2+b^2})+(\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{a^2+(b-1)^2})\\&\geqslant \sqrt{(a-1-a)^2+(b-1-b)^2}+\sqrt{(a-1-a)^2+(b-b+1)^2}\\&
=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
\end{align}$
答案
解析
备注
