设 $M = {1,2,…,2005}$，$A$ 是 $M$ 的子集．若对任何 $a_i,a_j∈A$，$a_i≠a_j$，都能以 $a_i,a_j$ 为边长惟一地确定一个等腰三角形，求 $|A|$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $a<b$ 时，$a,b,b$ 必构成等腰三角形，所以，两个数 $ab$ 唯一地确定一个以 $ab$ 为其两边的等腰三角形，等价于 $aab$ 不构成等腰三角形，即 $2a\leqslant b$ 。
设 $A=\{{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots<{{a}_{n}}\}$ 是 $M$ 的一个合乎条件的子集，则 $2{{a}_{i}}\leqslant {{a}_{i+1}}$ 。于是，
$2005\geqslant{{a}_{n}}\geqslant 2{{a}_{n-1}}\geqslant \cdots \geqslant {{2}^{n-1}}{{a}_{1}}\geqslant {{2}^{n-1}}$，
所以 $n\leqslant 11$ 。
其次，令 $A=\{1,2,4,\cdots ,1024\}$，则 $|A|=11$ 。且对任何 ${{a}_{i}}{{a}_{j}}\in A$，设 $i<j$，则 ${{a}_{i}}={{2}^{i-1}},{{a}_{j}}={{2}^{j-1}}$，有 $2{{a}_{i}}={{2}^{i}}\leqslant{{2}^{j-1}}={{a}_{j}}$，从而以 ${{a}_{i}}{{a}_{j}}$ 只能做唯一的等腰三角形 $({{a}_{i}},{{a}_{j}},{{a}_{j}})$，所以 $A$ 合乎条件。
设 $A=\{{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots<{{a}_{n}}\}$ 是 $M$ 的一个合乎条件的子集，则 $2{{a}_{i}}\leqslant {{a}_{i+1}}$ 。于是，
$2005\geqslant{{a}_{n}}\geqslant 2{{a}_{n-1}}\geqslant \cdots \geqslant {{2}^{n-1}}{{a}_{1}}\geqslant {{2}^{n-1}}$，
所以 $n\leqslant 11$ 。
其次，令 $A=\{1,2,4,\cdots ,1024\}$，则 $|A|=11$ 。且对任何 ${{a}_{i}}{{a}_{j}}\in A$，设 $i<j$，则 ${{a}_{i}}={{2}^{i-1}},{{a}_{j}}={{2}^{j-1}}$，有 $2{{a}_{i}}={{2}^{i}}\leqslant{{2}^{j-1}}={{a}_{j}}$，从而以 ${{a}_{i}}{{a}_{j}}$ 只能做唯一的等腰三角形 $({{a}_{i}},{{a}_{j}},{{a}_{j}})$，所以 $A$ 合乎条件。
答案
解析
备注
