无

略

考虑集合 $A$ 中总计有 $C_{n}^{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ 个二元子集和 $C_{n}^{3}=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$ 个三元子集，取所有二元子集和三元子集，满足每个子集至少有2个元素，且每两个不同子集的交集至多有2个元素；此时有 $S=(C_{n}^{3})*({{3}^{3}})+(C_{n}^{2})*({{2}^{3}})=\dfrac{9n(n-1)(n-2)}{2}+4n(n-1)=\dfrac{n(n-1)(9n-10)}{2}$
另一方面，若这些集合中存在某个集合 ${{A}_{0}}$ 有 $k$（$k\geqslant 4$）个元素 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},...,{{a}_{k}}$，可取如下 $C_{k}^{3}$ 个三元子集 ${{A}_{1}}=\{{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}\},{{A}_{2}}=\{{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{4}}\},{{A}_{3}}=\{{{a}_{1}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}\},{{A}_{4}}=\{{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}\},...$ 代替 ${{A}_{0}}$，同样满足要求，而子集的元素个数的立方和由 ${{k}^{3}}$ 调整为 $(C_{k}^{3})*({{3}^{3}})=\dfrac{9k(k-1)(k-2)}{2}$，换言之，$S$ 调整后较调整前增大；因此 $S$ 的最大值在这些子集为上述全部二元及三元子集时取得，即为 $\dfrac{n(n-1)(9n-10)}{2}$
进一步考虑 $\dfrac{n(n-1)(9n-10)}{2}={{2009}^{t}}$ 的整数解，若存在整解，由于2009的素因数分解为 $2009=({{7}^{2}})*41$，且不难验证，$n,n-1,9n-10$ 这3个数中至多只有一个是7的倍数（若 $n$ 是7的倍数，则 $9n$ 也是7的倍数，从而 $9n-10$ 不是7的倍数；若 $n-1$ 是7的倍数，则 $9n-9$ 也是7的倍数，从而 $9n-10$ 不是7的倍数），也至多只有一个是41的倍数（若 $n$ 是41的倍数，则 $9n$ 也是41的倍数，从而 $9n-10$ 不是41的倍数；若 $n-1$ 是41的倍数，则 $9n-9$ 也是41的倍数，从而 $9n-10$ 不是41的倍数）；进而 $n,n-1,9n-10$ 这3个数中必有一个数既不是7的倍数也不是41的倍数，因此这个数只能为1或2，即 $n=2$ 或 $n=3$，又不难验证 $n=2$ 或 $n=3$ 时均不存在整数解，从而 $S$ 的最大值不可能等于2009的方幂．