给定正整数 $n\left( n\geqslant 2 \right)$，求最大的 $\lambda $，使得：若有 $n$ 个袋子，每一个袋子中都有一些重量为2的整数次幂的小球，且各个袋子中的小球的总重量都相等，则必有某一重量的小球的总个数至少为 $\lambda $．（同一个袋子中可以有相等重量的小球．）
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
无妨设最重的小球的重量为1．我们首先证明，${{\lambda }_{\max }}\geqslant \left[ \dfrac{n}{2} \right]+1$．
设每个袋子中小球的总重量为 $G$，则 $G\geqslant 1$．假设任一重量的小球的总个数都不大于 $\left[ \dfrac{n}{2} \right]$，则由两方面考虑 $n$ 个袋子中所有小球的总重量，得出
$n\leqslant nG\leqslant \left[ \dfrac{n}{2} \right]\left( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots \right)< 2\left[ \dfrac{n}{2} \right]\leqslant n$．
矛盾．因此所说的断言成立．
另一方面，取充分大的整数 $k$，使得
$2-{{2}^{-k}}\geqslant \dfrac{2n}{n+1}$，
则由于 $\left[ \dfrac{n}{2}\right]+1\geqslant \dfrac{n+1}{2}$，故
$2-{{2}^{-k}}\geqslant \dfrac{2n}{n+1}\geqslant \dfrac{n}{\left[ \dfrac{n}{2}\right]+1}$，
从而
$\left( \left[ \dfrac{n}{2} \right]+1\right)\left( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{k}}}\right)\geqslant n\times 1$．
因此，可在
$\underbrace{1 1 \cdots \1}_{\left( \left[ \dfrac{n}{2} \right]+1 \right)} $ $\underbrace{\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2} \cdots \dfrac{1}{2}}_{\left( \left[ \dfrac{n}{2}\right]+1 \right)} \cdots \underbrace{\dfrac{1}{{{2}^{k}}} \dfrac{1}{{{2}^{k}}}\\ \cdots \dfrac{1}{{{2}^{k}}}}_{\left( \left[ \left[ \dfrac{n}{2} \right]+1\right] \right)}$
中，由前至后依次取和为1的连续若干项，且至少可取 $n$ 次．故 ${{\lambda}_{\max }}\leqslant \left[ \dfrac{n}{2} \right]+1$．
综合上述两个方面，得 ${{\lambda }_{\max }}=\left[ \dfrac{n}{2}\right]+1$．
设每个袋子中小球的总重量为 $G$，则 $G\geqslant 1$．假设任一重量的小球的总个数都不大于 $\left[ \dfrac{n}{2} \right]$，则由两方面考虑 $n$ 个袋子中所有小球的总重量，得出
$n\leqslant nG\leqslant \left[ \dfrac{n}{2} \right]\left( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots \right)< 2\left[ \dfrac{n}{2} \right]\leqslant n$．
矛盾．因此所说的断言成立．
另一方面，取充分大的整数 $k$，使得
$2-{{2}^{-k}}\geqslant \dfrac{2n}{n+1}$，
则由于 $\left[ \dfrac{n}{2}\right]+1\geqslant \dfrac{n+1}{2}$，故
$2-{{2}^{-k}}\geqslant \dfrac{2n}{n+1}\geqslant \dfrac{n}{\left[ \dfrac{n}{2}\right]+1}$，
从而
$\left( \left[ \dfrac{n}{2} \right]+1\right)\left( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{k}}}\right)\geqslant n\times 1$．
因此，可在
$\underbrace{1 1 \cdots \1}_{\left( \left[ \dfrac{n}{2} \right]+1 \right)} $ $\underbrace{\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2} \cdots \dfrac{1}{2}}_{\left( \left[ \dfrac{n}{2}\right]+1 \right)} \cdots \underbrace{\dfrac{1}{{{2}^{k}}} \dfrac{1}{{{2}^{k}}}\\ \cdots \dfrac{1}{{{2}^{k}}}}_{\left( \left[ \left[ \dfrac{n}{2} \right]+1\right] \right)}$
中，由前至后依次取和为1的连续若干项，且至少可取 $n$ 次．故 ${{\lambda}_{\max }}\leqslant \left[ \dfrac{n}{2} \right]+1$．
综合上述两个方面，得 ${{\lambda }_{\max }}=\left[ \dfrac{n}{2}\right]+1$．
答案
解析
备注
