无

略

用 $21$ 个点表示 $21$ 个人，若两人互通电话则对应两点连一条边，否则不连边，得到一个图 $G$，已知 $G$ 中含有一个奇圈，并且 $G$ 中不存在三角形，要求 $G$ 中边数 $n$ 的最大值．
设图中长度最短的一个奇圈 $C$ 的长为 $2k+1$，因为 $G$ 中没有三角形，故 $k\geqslant 2$，设 $C$ 为 $A_1A_2\cdots A_{2k+1}A_1$．则对任意 $i,j(1\leqslant i,j\leqslant 2k+1)$，$A_i$ 与 $A_j$ $j\not=i\pm1$ 没有连边 $(A_0=A_{2k+2}=A_1)$（否则存在长度更小的奇圈，与假设矛盾）．除 $A_1,A_2,\cdots,A_{2k+1}$ 外，其余 $21-(2k+1)=2(10-k)$ 个点中无三角形，由托兰定理知这 $2(10-k)$ 个点之间最多连有 $\dfrac{1}{4}(20-2k)^2=(10-k)^2$ 条边．又这 $2(10-k)$ 中每一个点不能与 $C$ 中相邻两顶点连有边（否则存在三角形，与假设矛盾），故这 $2(10-k)$ 个点钟每个点至多与 $C$ 中 $k$ 个顶点相邻，所以图中的边数 $n$ 满足：$n\leqslant 2k+1+(10-k)^2+2(10-k)\dot k=102-(k-1)^2\leqslant 102-(2-1)^2=101$．
另一方面，设 $G$ 的 $21$ 个顶点为 $A_1,A_2,\cdots,A_{21}$，$X={A_1,A_2,\cdots,A_5}$，$Y={A_6,A_8,A_{10}\cdots,A_{20}}$，$Z={A_7,A_9,A_{11}\cdots,A_{21}}$．$X$ 中 $A_i$ 与 $A_{i+1}$ 连有边 $(i=1,2,3,4)$ 且 $A_5$ 与 $A_1$ 连有边，$Y$ 中每点与 $Z$ 中每点连有边，$Y$ 中每点与 $X$ 中两点 $A_1$ 和 $A_3$ 连有边，$Z$ 中每点与 $X$ 中两点 $A_2$ 和 $A_4$ 连有边，其余任意两点不连边，则 $G$ 中的边数为：$n=5+8\times8+2\times8=101$．
且 $G$ 中存在一个奇圈 $A_1A_2\cdots A_5A_1$，但不存在三角形．
综上所述，所求 $n$ 的最大值为 $101$．