在一次演讲中，有五名数学家每人均打两次盹，并且每两人均有同时打盹的时刻．证明：一定有三个人，他们有同时打盹的时刻．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
作图 $G$：用 $v_1,v_2,\cdots,v_10$ 这 $10$ 个顶点表示这五位数学家的十次盹，并且仅当第 $i$ 次盹与第 $j$ 次盹有共同时刻时，在 $v_i$ 与 $v_j$ 之间连一条边．
由题意，每两个数学家均有同时在打盹的时刻，从而图 $G$ 中的边数至少是 $C_{5}^2=10$ 条．而图 $G$ 的顶点数为 $10$，故 $G$ 中必有圈．
设这个圈为 $v_{i_1}v_{i_2}\cdots v_{i_k}v_{i_1}$，且 $v_{i_1}$ 是圈中最先结束的一个盹，那么当 $v_{i_1}$ 刚结束时，$v_{i_2}$ 及 $v_{i_k}$ 还在进行，这就证明了有三位数学家有同时打盹的时刻．
由题意，每两个数学家均有同时在打盹的时刻，从而图 $G$ 中的边数至少是 $C_{5}^2=10$ 条．而图 $G$ 的顶点数为 $10$，故 $G$ 中必有圈．
设这个圈为 $v_{i_1}v_{i_2}\cdots v_{i_k}v_{i_1}$，且 $v_{i_1}$ 是圈中最先结束的一个盹，那么当 $v_{i_1}$ 刚结束时，$v_{i_2}$ 及 $v_{i_k}$ 还在进行，这就证明了有三位数学家有同时打盹的时刻．
答案
解析
备注
