设 $S={x_1,x_2,\cdots,x_n}$ 是平面上的点集，其中任意两点之间的距离至少是1，证明：最多有 $3n$ 对点，每对点的距离恰好是 $1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
取这 $n$ 个点作为顶点，两顶点相邻当且仅当两点之间的距离为 $1$，得一个图 $G$，$G$ 中的边数记为 $e$．显然图 $G$ 中和顶点 $x_i$ 相邻的点是以 $x_i$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆周上．由于集合 $S$ 中任意两点的距离 $\geqslant 1$，故圆周上至多含有 $S$ 中的 $6$ 个点，所以 $d(x_i)\leqslant 6$．则 $d(x_1)+d(x_2)+\cdots+d(x_n)=2e$，$6n\geqslant 2e$，即 $e\leqslant 3n$．就是说图 $G$ 中的边数 $e$ 不超过 $3n$，所以这 $n$ 个点中至多有 $3n$ 对点，每对点的距离恰好是 $1$．
答案
解析
备注
