正整数 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{2006}}$（可以有相同的）使得 $\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}$，$\dfrac{{{a}_{2}}}{{{a}_{3}}}$，…，$\dfrac{{{a}_{2005}}}{{{a}_{2006}}}$ 两两不相等．问：${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{2006}}$ 中最少有多少个不同的数？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑45个互不相同的正整数两两比值至多只有 $\text{45*44+1=1981}$ 个，因此 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{2006}}$ 中互不相同数的个数至少为46
另一方面，记 ${{p}_{1}},{{p}_{2}},...,{{p}_{46}}$ 为46个互不相同的素数，构造 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{2006}}$ 如下：
$\begin{align}
&{{p}_{1}},{{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{1}},{{p}_{3}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},{{p}_{1}},{{p}_{4}},{{p}_{3}},{{p}_{4}},{{p}_{2}},{{p}_{4}},{{p}_{1}},...,\\
&{{p}_{1}},{{p}_{k}},{{p}_{k-1}},{{p}_{k}},{{p}_{k-2}},{{p}_{k}},...,{{p}_{k}},{{p}_{2}},{{p}_{k}},{{p}_{1}},...,\\
&{{p}_{1}},{{p}_{45}},{{p}_{44}},{{p}_{45}},{{p}_{43}},{{p}_{45}},...,{{p}_{45}},{{p}_{2}},{{p}_{45}},{{p}_{1}},\\
&{{p}_{46}},{{p}_{45}},{{p}_{46}},{{p}_{44}},{{p}_{46}},...,{{p}_{46}},{{p}_{23}},{{p}_{46}},{{p}_{22}}\\
\end{align}$
总计2006项，满足要求；故 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{2006}}$ 中至少有46个互不相同的数．
另一方面，记 ${{p}_{1}},{{p}_{2}},...,{{p}_{46}}$ 为46个互不相同的素数，构造 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{2006}}$ 如下：
$\begin{align}
&{{p}_{1}},{{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{1}},{{p}_{3}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},{{p}_{1}},{{p}_{4}},{{p}_{3}},{{p}_{4}},{{p}_{2}},{{p}_{4}},{{p}_{1}},...,\\
&{{p}_{1}},{{p}_{k}},{{p}_{k-1}},{{p}_{k}},{{p}_{k-2}},{{p}_{k}},...,{{p}_{k}},{{p}_{2}},{{p}_{k}},{{p}_{1}},...,\\
&{{p}_{1}},{{p}_{45}},{{p}_{44}},{{p}_{45}},{{p}_{43}},{{p}_{45}},...,{{p}_{45}},{{p}_{2}},{{p}_{45}},{{p}_{1}},\\
&{{p}_{46}},{{p}_{45}},{{p}_{46}},{{p}_{44}},{{p}_{46}},...,{{p}_{46}},{{p}_{23}},{{p}_{46}},{{p}_{22}}\\
\end{align}$
总计2006项，满足要求；故 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{2006}}$ 中至少有46个互不相同的数．
答案
解析
备注
