某新建城市购进大批公共汽车，用以解决市内交通问题，计划在 $2009$ 个不同地点建立汽车站，并通过开辟若干条线路的公共汽车沟通它们，规划者的愿望是：
（1）尽可能多辟一些线路；
（2）每两条线路至少有一个公共的汽车站；
（3）每个公共汽车站至多有两条不同的线路通过．
问：照此愿望，最多可以开辟多少条线路的公共汽车？每条线路至少应经过多少个站？
（1）尽可能多辟一些线路；
（2）每两条线路至少有一个公共的汽车站；
（3）每个公共汽车站至多有两条不同的线路通过．
问：照此愿望，最多可以开辟多少条线路的公共汽车？每条线路至少应经过多少个站？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
做多可以开辟 $63$ 条线路。
设可开辟 $n$ 条线路，由（2）（3）可知，$C_{n}^{2}\leqslant 2009$，即 $\dfrac{n(n-1)}{2}\leqslant 2009$，于是可得 $n\leqslant 63$．
当 $n=63$ 时，每条线路都要与其他线路有公共汽车站，所以至少要经过62个站。
此时的构造如下：2009个汽车站分为两种，第一种 ${{A}_{i,j}}(1\leqslant i<j\leqslant 63)$，${{A}_{i,j}}$ 同时在第 $i$ 条和第 $j$ 条线路上。剩余的46个车站为第二种，只在第一条线路上即可。
设可开辟 $n$ 条线路，由（2）（3）可知，$C_{n}^{2}\leqslant 2009$，即 $\dfrac{n(n-1)}{2}\leqslant 2009$，于是可得 $n\leqslant 63$．
当 $n=63$ 时，每条线路都要与其他线路有公共汽车站，所以至少要经过62个站。
此时的构造如下：2009个汽车站分为两种，第一种 ${{A}_{i,j}}(1\leqslant i<j\leqslant 63)$，${{A}_{i,j}}$ 同时在第 $i$ 条和第 $j$ 条线路上。剩余的46个车站为第二种，只在第一条线路上即可。
答案
解析
备注
