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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24038 59c0d70bf14e16000838934c 高中 解答题 高中习题 设椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其周长记为 $l$，求证：\[M_{\frac 23}(a,b)\leqslant \dfrac{l}{2\pi}\leqslant M_{{\log_2}\frac{\pi}2}(a,b),\]其中 $M_\lambda (a,b)$ 表示 $a,b$ 的幂平均数\[M_\lambda(a,b)=\left(\dfrac{a^\lambda+b^\lambda}2\right)^{\frac{1}{\lambda}}.\] 2022-04-17 20:04:33
24037 59c0d735f14e16000705c843 高中 解答题 高中习题 求证：任意一个有理数都可以写成 $3$ 个有理数的立方和． 2022-04-17 20:04:33
24036 59c0d754f14e160008389353 高中 解答题 高中习题 设 $n\in\mathbb N^*$，$\theta\in\mathbb R$．求证：$\left|\sin\theta\cdot \sin 2\theta\cdots \sin 2^n\theta\right|\leqslant \left(\dfrac{\sqrt 3}2\right)^n$． 2022-04-17 20:03:33
24035 59c0d772f14e16000705c84a 高中 解答题 高中习题 设 $k$（$k\geqslant 2$）个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 满足 $\displaystyle \sum_{i=1}^ka_i=\prod_{i=1}^ka_i$，求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{k}a_i\leqslant 2k$． 2022-04-17 20:03:33
24034 59c0d786f14e16000838935a 高中 解答题 高中习题 已知 $z\in\mathbb C$，复数 $1,z,z^2$ 在复平面上对应的点分别为 $A,B,C$ 且 $\triangle ABC$ 为锐角三角形．求复数 $z$ 的实部和虚部满足的数量关系，并在坐标平面内画出． 2022-04-17 20:02:33
24033 59c0d7a2f14e16000705c850 高中 解答题 高中习题 椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>1$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，$A,B$ 是椭圆的左顶点与上顶点，$O$ 是坐标原点，$|OF_1|,|OB|,|OA|$ 构成等差数列，抛物线 $C$ 以 $F_1$ 为焦点，以 $A$ 为顶点． 2022-04-17 20:01:33
24032 59c0d1f6f14e160008389333 高中 解答题 高中习题 在周长为 $6$ 的三角形 $ABO$ 中，$\angle AOB=60^\circ$，点 $P$ 在边 $AB$ 上，$PH\perp OA$ 于 $H$，且 $PH=\dfrac{\sqrt 3}2$，$OP=\dfrac{\sqrt 7}2$，求 $OA$． 2022-04-17 20:01:33
24031 596335193cafba000ac43f24 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=1-{\mathrm e}^{-x}$． 2022-04-17 20:01:33
24030 59bbd5208b403a0008ec5ead 高中 解答题 高中习题 求所有的实数 $\theta$ 的值，使数列 $a_n=\cos \left(2^{n-1}\cdot \theta\right)$（$n=1,2\cdots$）中每一项都为负数． 2022-04-17 20:00:33
24029 59c1441df14e16000705c8c2 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=m\ln(x+1)$，$g(x)=\dfrac{x}{x+1}$（$x>-1$）． 2022-04-17 20:59:32
24028 5945f748a26d280009c98c04 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=m\ln x$ 与函数 $h(x)=\dfrac{x-1}{2x}$（$x>0$）的图象有且只有一条公切线，求实数 $m$ 的值． 2022-04-17 20:59:32
24027 59ba35d398483e0009c7318c 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足 $a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，对任意正整数 $n$，均有\[\begin{aligned}
a_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\
b_{n+1}&=\left|c_n-a_n\right|,\\
c_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|
,\end{aligned}\]求证：对任意正整数 $a,b,c$，均存在正整数 $m$，使得 $a_{m+1}-a_m=b_{m+1}-b_m=c_{m+1}-c_m=0$．		 2022-04-17 20:58:32
24026 59ba35d398483e0009c73190 高中 解答题 高中习题 求证：$\tan ^21^\circ+\tan ^23^\circ+\tan ^25^\circ+\cdots+\tan ^287^\circ+\tan ^289^\circ=4005$． 2022-04-17 20:57:32
24025 59ba35d398483e0009c73194 高中 解答题 高中习题 求所有的实数 $\theta$ 的值，使数列 $a_n=\cos \left(2^{n-1}\cdot \theta\right)$（$n=1,2\cdots$）中每一项都为负数． 2022-04-17 20:57:32
24024 59ba458798483e0009c73300 高中 解答题 高中习题 求所有的实数 $\theta$ 的值，使数列 $a_n=\cos \left(2^{n-1}\cdot \theta\right)$（$n=1,2\cdots$）中每一项都为负数． 2022-04-17 20:56:32
24023 59ba492398483e000a5244ee 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴上一点 $M(m,0)$，垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $N\left(\dfrac{a^2}{m},0\right)$．过 $M$ 且斜率不为 $0$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点，分别过 $A,B$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $A_1,B_1$．设 $\triangle MAA_1$，$\triangle MBB_1$，$\triangle A_1B_1M$ 的面积分别为 $S_1,S_2,S_3$，求证：$\dfrac{S_1S_2}{S_3^2}$ 为定值． 2022-04-17 20:56:32
24022 59b62304b049650007282fff 高中 解答题 高中习题 已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA\perp OB$，求证：$O$ 到直线 $AB$ 的距离为定值． 2022-04-17 20:55:32
24021 59ba49ba98483e0009c73312 高中 解答题 高中习题 已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA\perp OB$，求证：$O$ 到直线 $AB$ 的距离为定值． 2022-04-17 20:54:32
24020 59ba49c898483e000a5244f3 高中 解答题 高中习题 已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA\perp OB$，求证：$O$ 到直线 $AB$ 的距离为定值． 2022-04-17 20:53:32
24019 59ba49d598483e0009c73315 高中 解答题 高中习题 已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA\perp OB$，求证：$O$ 到直线 $AB$ 的距离为定值． 2022-04-17 20:53:32
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