求所有的实数 $\theta$ 的值，使数列 $a_n=\cos \left(2^{n-1}\cdot \theta\right)$（$n=1,2\cdots$）中每一项都为负数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2k\pi\pm \dfrac{2\pi}3,k\in\mathbb Z$
【解析】
$\theta=2k\pi\pm \dfrac{2\pi}3$，$k\in\mathbb Z$．
考虑数列 $a_{n+1}=2a_n^2-1$，其中 $-1\leqslant a_1<0$，对应的迭代函数 $f(x)=2x^2-1$，且数列的每一项均为负数．迭代函数对应的不动点为 $x=-\dfrac 12$ 和 $x=1$，于是有\[a_{n+1}+\dfrac 12=2\left(a_n+\dfrac 12\right)\left(a_n-\dfrac 12\right).\]若 $a_1\ne -\dfrac 12$，则 $a_n\ne -\dfrac 12$（$n\in\mathbb N^*$），考虑\[\begin{split}a_{n+1}&=2a_n^2-1<0,\\ a_{n+2}&=2\left(2a_n^2-1\right)^2-1<0,\end{split}\]可得\[-\dfrac{\sqrt 2}2<a_n<-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt 2}}2.\]这样我们就有\[\dfrac{a_{n+1}+\dfrac 12}{a_n+\dfrac 12}=2a_n-1<-\sqrt{2-\sqrt 2}-1,\]因此\[\left|a_{n+1}+\dfrac 12\right|>\left(\sqrt{2-\sqrt 2}+1\right)^n\cdot \left|a_1+\dfrac 12\right|,\]当 $n\to \infty$ 时，右侧趋于 $+\infty$，这与数列 $\{a_n\}$ 的有界性矛盾．
因此 $a_1=-\dfrac 12$，对应的 $\theta=2k\pi\pm \dfrac{2\pi}3$，$k\in\mathbb Z$．经验证，这些实数均符合题意．因此所有的实数 $\theta=2k\pi\pm \dfrac{2\pi}3$，$k\in\mathbb Z$．
考虑数列 $a_{n+1}=2a_n^2-1$，其中 $-1\leqslant a_1<0$，对应的迭代函数 $f(x)=2x^2-1$，且数列的每一项均为负数．迭代函数对应的不动点为 $x=-\dfrac 12$ 和 $x=1$，于是有\[a_{n+1}+\dfrac 12=2\left(a_n+\dfrac 12\right)\left(a_n-\dfrac 12\right).\]若 $a_1\ne -\dfrac 12$，则 $a_n\ne -\dfrac 12$（$n\in\mathbb N^*$），考虑\[\begin{split}a_{n+1}&=2a_n^2-1<0,\\ a_{n+2}&=2\left(2a_n^2-1\right)^2-1<0,\end{split}\]可得\[-\dfrac{\sqrt 2}2<a_n<-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt 2}}2.\]这样我们就有\[\dfrac{a_{n+1}+\dfrac 12}{a_n+\dfrac 12}=2a_n-1<-\sqrt{2-\sqrt 2}-1,\]因此\[\left|a_{n+1}+\dfrac 12\right|>\left(\sqrt{2-\sqrt 2}+1\right)^n\cdot \left|a_1+\dfrac 12\right|,\]当 $n\to \infty$ 时，右侧趋于 $+\infty$，这与数列 $\{a_n\}$ 的有界性矛盾．
因此 $a_1=-\dfrac 12$，对应的 $\theta=2k\pi\pm \dfrac{2\pi}3$，$k\in\mathbb Z$．经验证，这些实数均符合题意．因此所有的实数 $\theta=2k\pi\pm \dfrac{2\pi}3$，$k\in\mathbb Z$．
答案
解析
备注
