已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴上一点 $M(m,0)$，垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $N\left(\dfrac{a^2}{m},0\right)$．过 $M$ 且斜率不为 $0$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点，分别过 $A,B$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $A_1,B_1$．设 $\triangle MAA_1$，$\triangle MBB_1$，$\triangle A_1B_1M$ 的面积分别为 $S_1,S_2,S_3$，求证：$\dfrac{S_1S_2}{S_3^2}$ 为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
定值为 $\dfrac 14$
【解析】
设直线 $AB:x=ty+m$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．记 $n=\dfrac{a^2}{m}$，联立直线 $AB$ 的方程与椭圆方程可得\[\left(b^2t^2+a^2\right)y^2+2b^2tmy+b^2\left(m^2-a^2\right)=0,\]而\[\begin{split}
\dfrac{S_1S_2}{S_3^2}&=\dfrac{-y_1y_2\left(n-x_1\right)\left(n-x_2\right)}{(n-m)^2\left(y_1-y_2\right)^2}\\
&=\dfrac{-y_1y_2\left(ty_1+m-n\right)\left(ty_2+m-n\right)}{(n-m)^2\left(y_1-y_2\right)^2}\\
&=\dfrac{-y_1y_2\left[t^2y_1y_2-t(n-m)\left(y_1+y_2\right)+(n-m)^2\right]}{(n-m)^2\left[\left(y_1+y_2\right)^2-4y_1y_2\right]}\\
&=\dfrac{b^2(a^2-m^2)\left[t^2b^2(m^2-a^2)+t(n-m)\cdot 2b^2tm+(n-m)^2(b^2t^2+a^2)\right]}{(n-m)^2\left[4a^2b^2(b^2t^2+a^2)-4a^2b^2m^2\right]}\\
&=\dfrac{a^2-m^2}{4a^2(n-m)^2}\cdot \dfrac{b^2t^2(n^2-a^2)+a^2(n-m)^2}{b^2t^2+a^2-m^2}
,\end{split}\]而\[(a^2-m^2)(n^2-a^2)=-m^2n^2+a^2(n^2+m^2)-a^4=a^2(n-m)^2,\]因此可得 $\dfrac{S_1S_2}{S_3^2}$ 为定值 $\dfrac 14$．
\dfrac{S_1S_2}{S_3^2}&=\dfrac{-y_1y_2\left(n-x_1\right)\left(n-x_2\right)}{(n-m)^2\left(y_1-y_2\right)^2}\\
&=\dfrac{-y_1y_2\left(ty_1+m-n\right)\left(ty_2+m-n\right)}{(n-m)^2\left(y_1-y_2\right)^2}\\
&=\dfrac{-y_1y_2\left[t^2y_1y_2-t(n-m)\left(y_1+y_2\right)+(n-m)^2\right]}{(n-m)^2\left[\left(y_1+y_2\right)^2-4y_1y_2\right]}\\
&=\dfrac{b^2(a^2-m^2)\left[t^2b^2(m^2-a^2)+t(n-m)\cdot 2b^2tm+(n-m)^2(b^2t^2+a^2)\right]}{(n-m)^2\left[4a^2b^2(b^2t^2+a^2)-4a^2b^2m^2\right]}\\
&=\dfrac{a^2-m^2}{4a^2(n-m)^2}\cdot \dfrac{b^2t^2(n^2-a^2)+a^2(n-m)^2}{b^2t^2+a^2-m^2}
,\end{split}\]而\[(a^2-m^2)(n^2-a^2)=-m^2n^2+a^2(n^2+m^2)-a^4=a^2(n-m)^2,\]因此可得 $\dfrac{S_1S_2}{S_3^2}$ 为定值 $\dfrac 14$．
答案
解析
备注
