题目 已知函数 $f(x)=m\ln(x+1)$，$g(x)=\dfrac{x}{x+1}$（$x>-1$）． 问题1 讨论函数 $F(x)=f(x)-g(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 内的单调性； 答案1 $m\leqslant 0$ 时，$F(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递减；$m>0$ 时，$F(x)$ 在 $\left(-1,\dfrac 1m-1\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 1m-1,+\infty\right)$ 上单调递增 解析1 根据题意，有\[F(x)=m\ln (x+1)-\dfrac{x}{x+1},\]其导函数\[F'(x)=\dfrac{mx+m-1}{(x+1)^2}.\]<case>情形一</case> $m\leqslant 0$．此时 $F'(x)<0$，因此函数 $F(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递减．<br/><case>情形二</case> $m>0$．此时在区间 $\left(-1,\dfrac 1m-1\right)$ 上有 $F'(x)<0$，在区间 $\left(\dfrac 1m-1,+\infty\right)$ 上有 $F'(x)>0$．因此函数 $F(x)$ 在 $\left(-1,\dfrac 1m-1\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 1m-1,+\infty\right)$ 上单调递增． 备注1 问题2 若 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图象有且仅有一条公切线，试求实数 $m$ 的值． 答案2 略 解析2 设直线 $l$ 是函数 $y=f(x)$ 和函数 $y=g(x)$ 的图象的公切线，切点横坐标分别为 $a,b$，则\[\begin{split} l:y&=m\ln(a+1)+\dfrac{m}{a+1}(x-a),\\<br/>l:y&=\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{1}{(b+1)^2}(x-b)\end{split}\]因此\[\begin{cases} \dfrac{m}{a+1}=\dfrac{1}{(b+1)^2},\\ m\ln(a+1)-\dfrac{ma}{a+1}=\dfrac{b}{b+1}-\dfrac{b}{(b+1)^2},\end{cases}\] 备注2