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已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA\perp OB$，求证：$O$ 到直线 $AB$ 的距离为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的方程
    >
    椭圆的参数方程
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的定点定值问题
【答案】
定值为 $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$
【解析】
设 $A(a\cos\alpha,b\sin\alpha)$，$B(a\cos\beta,b\sin\beta)$，则有由 $OA\perp OB$ 有\[a^2\cos\alpha\cos\beta+b^2\sin\alpha\sin\beta=0,\]当 $\cos\alpha\cos\beta\ne 0$ 时，有\[\tan^2\alpha\cdot \tan^2\beta=\dfrac{a^4}{b^4}.\]此时 $O$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$ 满足\[\begin{split}
\dfrac 1{d^2}&=\dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}\\
&=\dfrac{1}{a^2\cos^2\alpha+b^2\sin^2\alpha}+\dfrac{1}{a^2\cos^2\beta+b^2\sin^2\beta}\\
&=\dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{a^2\cos^2\alpha+b^2\sin^2\alpha}+\dfrac{\sin^2\beta+\cos^2\beta}{a^2\cos^2\beta+b^2\sin^2\beta}\\
&=\dfrac{\tan^2\alpha+1}{a^2+b^2\tan^2\alpha}+\dfrac{\tan^2\beta+1}{a^2+b^2\tan^2\beta}\\
&=\dfrac{\tan^2\alpha+1}{a^2+b^2\tan^2\alpha}+\dfrac{\left(\tan^2\beta+1\right)\cdot\tan^2\alpha}{\left(a^2+b^2\tan^2\beta\right)\cdot \tan^2\alpha}\\
&=\dfrac{\tan^2\alpha+1}{a^2+b^2\tan^2\alpha}+\dfrac{\dfrac{a^4}{b^4}+\tan^2\alpha}{a^2\tan^2\alpha+b^2\cdot \dfrac{a^4}{b^4}}\\
&=\dfrac{\tan^2\alpha+1}{a^2+b^2\tan^2\alpha}+\dfrac{\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\tan^2\alpha}{b^2\tan^2\alpha+a^2}\\
&=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2},
\end{split}\]因此 $d$ 为定值 $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$．
经验证，当 $\cos\alpha\cos\beta=0$ 时，$d=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$，因此原命题得证．
答案 解析 备注
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