已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA\perp OB$，求证：$O$ 到直线 $AB$ 的距离为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
定值为 $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$
【解析】
设直线 $AB$ 的方程为 $mx+ny=1$，与椭圆方程化齐次联立，可得\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-(mx+ny)^2=0,\]从而由 $OA\perp OB$ 可得\[\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}-m^2-n^2=0,\]因此 $O$ 到直线 $AB$ 的距离\[d=\dfrac{1}{\sqrt{m^2+n^2}}=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\]为定值．
答案
解析
备注
