已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA\perp OB$，求证：$O$ 到直线 $AB$ 的距离为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
定值为 $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$
【解析】
当直线 $OA$ 和直线 $OB$ 的斜率均存在时，设 $OA:y=kx$，$OB:y=-\dfrac 1kx$．联立直线 $OA$ 与椭圆的方程，可得\[\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}\right)x^2=1.\]于是 $O$ 到直线 $AB$ 的距离 $d$ 满足\[\begin{split}\dfrac{1}{d^2}&=\dfrac{1}{|OA|^2}+\dfrac{1}{|OB|^2}\\
&=\dfrac{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}}{1+k^2}+\dfrac{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2k^2}}{1+\dfrac{1}{k^2}}\\
&=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2},\end{split}\]因此 $d$ 为定值 $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$．
经验证，当直线 $OA$ 或 $OB$ 的斜率不存在时，也有 $d=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$，因此原命题得证．
&=\dfrac{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}}{1+k^2}+\dfrac{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2k^2}}{1+\dfrac{1}{k^2}}\\
&=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2},\end{split}\]因此 $d$ 为定值 $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$．
经验证，当直线 $OA$ 或 $OB$ 的斜率不存在时，也有 $d=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$，因此原命题得证．
答案
解析
备注
