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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24098 59c096998496260008ba4319 高中 解答题 高中习题 已知锐角 $\triangle ABC$ 中，$\angle B=60^\circ$，$P$ 为 $AB$ 中点，$Q$ 为外接圆 $AC$（不含点 $B$）的中点，$H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心．如果 $P,H,Q$ 三点共线，求 $\angle A$． 2022-04-17 20:35:33
24097 59c096998496260008ba4325 高中 解答题 高中习题 求证：${\rm e}^x\left(\ln x+\dfrac 1x\right)>3\ln 2$． 2022-04-17 20:35:33
24096 59c096998496260008ba4327 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\left|\dfrac{\rm e}x-\ln x\right|$，$g(x)=\left|{\rm e}^{1-x}+\ln x+a\right|$． 2022-04-17 20:34:33
24095 59c096998496260008ba4331 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$ 且 $A,B,C\in (0,\pi)$，若\[\begin{aligned}
a^2&=b^2+c^2-2bc\cos A,\\
b^2&=c^2+a^2-2ca\cos B,\\
c^2&=a^2+b^2-2ab\cos C,\end{aligned}\]求证：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$．		 2022-04-17 20:34:33
24094 59c096998496260008ba4333 高中 解答题 高中习题 求证：对任意 $\triangle ABC$，均存在一个椭圆内切于其三边中点． 2022-04-17 20:33:33
24093 59c096998496260008ba4335 高中 解答题 高中习题 {\color{red}不清楚\quad}已知函数 $f(x)=x^2+ax+1$，其中 $a\in\mathbb R$ 且 $a\ne 0$． 2022-04-17 20:32:33
24092 59c096998496260008ba4337 高中 解答题 高中习题 设 $M$ 是 $\triangle ABC$ 内的一点，点 $M$ 到三边 $BC,CA,AB$ 的距离分别为 $d_a,d_b,d_c$，求 $\dfrac{d_a^2}{MB\cdot MC}+\dfrac{d_b^2}{MC\cdot MA}+\dfrac{d_c^2}{MA\cdot MB}$ 的最值． 2022-04-17 20:31:33
24091 59c096998496260008ba4339 高中 解答题 高中习题 设函数 $f(x)={\rm e}^x+ax+b$（$a,b\in\mathbb R$），$g(x)=\dfrac 12x^2$． 2022-04-17 20:30:33
24090 59c096998496260008ba433b 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)=\dfrac x{x+1}$，令 $a_1=\dfrac 12$，$a_2=\dfrac 34$，$a_{n+2}=f(a_n)+f(a_{n+1})$（$n=1,2,\cdots$）．求证：对任意正整数 $n$，有 $f\left(3\cdot 2^{n-1}\right)\leqslant a_{2n}\leqslant f\left(3\cdot 2^{2n-1}\right)$． 2022-04-17 20:30:33
24089 59c096998496260008ba433d 高中 解答题 高中习题 设数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足 $a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，对任意正整数 $n$，均有\[\begin{aligned}
a_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\
b_{n+1}&=\left|c_n-a_n\right|,\\
c_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|
,\end{aligned}\]求证：对任意实数 $a,b,c$，均存在正整数 $m$，使得 $a_{m+1}-a_m=b_{m+1}-b_m=c_{m+1}-c_m=0$．		 2022-04-17 20:29:33
24088 59c096998496260008ba433f 高中 解答题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 的三个内角分别为 $A,B,C$，求 $2\sqrt 2\sin A+2\sqrt 2\sin B+\sin C$ 的最大值． 2022-04-17 20:29:33
24087 59c096998496260008ba4341 高中 解答题 高中习题 已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 作两条互相垂直的弦 $AB,CD$，设 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$． 2022-04-17 20:28:33
24086 59c096998496260008ba4343 高中 解答题 高中习题 设函数 $f(x)=1-{\rm e}^{-x}$． 2022-04-17 20:28:33
24085 59c096998496260008ba4349 高中 解答题 高中习题 设椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），其周长记为 $l$，求证：\[M_{\frac 23}(a,b)\leqslant \dfrac{l}{2\pi}\leqslant M_{{\log_2}\frac{\pi}2}(a,b),\]其中 $M_\lambda (a,b)$ 表示 $a,b$ 的幂平均数\[M_\lambda(a,b)=\left(\dfrac{a^\lambda+b^\lambda}2\right)^{\frac{1}{\lambda}}.\] 2022-04-17 20:28:33
24084 59c096998496260008ba434b 高中 解答题 高中习题 设\[\begin{aligned}
x&=\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}9\cos\dfrac{4\pi}9}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}9\cos\dfrac{8\pi}9}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}9\cos\dfrac{2\pi}9},\\
y&=\tan\dfrac{2\pi}{13}\tan\dfrac{5\pi}{13}\tan\dfrac{6\pi}{13}+\tan\dfrac{2\pi}{13}+4\sin\dfrac{6\pi}{13},\\
z&=\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{\pi}{14}}+\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{3\pi}{14}}+\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{5\pi}{14}}
,\end{aligned}\]求 $x+y+z$ 的值．		 2022-04-17 20:27:33
24083 59c096998496260008ba434d 高中 解答题 高中习题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，过点点 $C(0,p)$ 作直线与抛物线 $x^2=2py$（$p>0$）相交于 $A,B$ 两点． 2022-04-17 20:26:33
24082 59c096998496260008ba434f 高中 解答题 高中习题 椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{2b^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$），抛物线方程为 $x^2=8(y-b)$，如图，过点 $F(0,b)$ 作 $x$ 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 $G$，已知抛物线在点 $G$ 处的切线经过椭圆的右焦点 $F_1$． 2022-04-17 20:26:33
24081 59c096998496260008ba4351 高中 解答题 高中习题 设 $x_1,x_2$ 是 $f(x)=\dfrac 13ax^3+\dfrac{b-1}2x^2+x$（$a,b\in\mathbb R$ 且 $a>0$）的两个极值点，$f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数． 2022-04-17 20:25:33
24080 59c096998496260008ba4353 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=a\ln (x-a)-\dfrac 12x^2+x$（$a<0$）． 2022-04-17 20:25:33
24079 59c096998496260008ba4357 高中 解答题 高中习题 棱长为 $2$ 的正四面体 $ABCD$ 中，$E,F$ 分别为 $AB,CD$ 上的动点，且 $EF=\sqrt 3$，求 $EF$ 中点 $P$ 的轨迹长度． 2022-04-17 20:25:33
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