设函数 $f(x)=1-{\mathrm e}^{-x}$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
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证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>\dfrac {x}{x+1}$；标注答案略解析待证式等价于$$\mathrm e^{-x}<\dfrac 1{x+1},$$即$$-x<-\ln (x+1).$$令 $h(x)=x-\ln (x+1)$，则$$h'(x)=1-\dfrac 1{x +1},$$可见 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，因此当 $x>0$ 时，$$h(x)>h(0)=0,$$得证．
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数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 13$，$a_n{\mathrm e}^{-a_{n+1}}=f(a_n)$，证明：数列 $\{a_n\}$ 递减且 $a_n<\dfrac 1{2^n}$．标注答案略解析记 $g(x)=-\ln \dfrac {1-\mathrm e^{-x}}{x}$，则$$a_{n+1}=g(a_n).$$要证明 $\{a_n\}$ 递减，只需证明当 $x>0$ 时，$g(x)<x$．
事实上，$g(x)<x$ 等价于$$ \ln \dfrac {1-\mathrm e^{-x}}{x}>-x,$$也即$$1-\mathrm e^{-x}>x\mathrm e^{-x}.$$注意 $f(x)=1-\mathrm e^{-x}$，可见上式也等价于$$f(x)>x(1-f(x)),$$即$$f(x)>\dfrac {x}{x+1},$$这里由 $(1)$ 即证．
要证明 $a_n<\dfrac {1}{2^n}$，只需证明当 $x>0$ 时，$g(x)<\dfrac x2$，这等价于$$ \dfrac {1-\mathrm e^{-x}}{x}> \mathrm e^{-\frac x2},$$也即$$\mathrm e^{ \frac x2}-\mathrm e^{-\frac x2}>x.$$为证此式，令 $F(x)=\mathrm e^{ \frac x2}-\mathrm e^{-\frac x2}-x$，则$$F'(x)=\dfrac 12(\mathrm e^{ \frac x2}+\mathrm e^{-\frac x2})-1\geqslant 0,$$等号成立当且仅当 $\mathrm e^{ \frac x2}=\mathrm e^{-\frac x2}=1$，即 $x=0$．
因此 $F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，$$F(x)>F(0)=0,$$于是 $\mathrm e^{ \frac x2}-\mathrm e^{-\frac x2}>x$ 得证．从而原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
