数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足 $a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，对任意正整数 $n$，均有\[\begin{aligned}
a_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\
b_{n+1}&=\left|c_n-a_n\right|,\\
c_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|
,\end{aligned}\]求证：对任意正整数 $a,b,c$，均存在正整数 $m$，使得 $a_{m+1}-a_m=b_{m+1}-b_m=c_{m+1}-c_m=0$．
a_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\
b_{n+1}&=\left|c_n-a_n\right|,\\
c_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|
,\end{aligned}\]求证：对任意正整数 $a,b,c$，均存在正整数 $m$，使得 $a_{m+1}-a_m=b_{m+1}-b_m=c_{m+1}-c_m=0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记 $(a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1})=f(a_n,b_n,c_n)$，并称 $f$ 为一次操作．
若 $a_n,b_n,b_n$ 互不相等且非零，那么经过 $1$ 次操作后得到的三个数的最大数至少减少 $1$；若 $a_n,b_n,c_n$ 中有零，则 $a_{n-1},b_{n-1},c_{n-1}$ 中存在两个数相等．因此在经过有限次操作后得到的三个数中必然存在两个数相等．
情形一 $(x,x,x)$，则之后得到 $(0,0,0)\to (0,0,0)\to \cdots$，命题成立．
情形二 得到 $(x,x,y)$，则之后得到 $(|x-y|,|x-y|,0)\to (|x-y|,|x-y|,0)\to \cdots$，命题成立．
综上所述，原命题得证．
若 $a_n,b_n,b_n$ 互不相等且非零，那么经过 $1$ 次操作后得到的三个数的最大数至少减少 $1$；若 $a_n,b_n,c_n$ 中有零，则 $a_{n-1},b_{n-1},c_{n-1}$ 中存在两个数相等．因此在经过有限次操作后得到的三个数中必然存在两个数相等．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
