已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA\perp OB$，求证：$O$ 到直线 $AB$ 的距离为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
定值为 $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$
【解析】
当直线 $AB$ 的斜率存在时，设其方程为 $y=kx+m$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．根据题意，有\[x_1x_2+y_1y_2=0,\]即\[\left(k^2+1\right)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0.\]联立直线与椭圆方程，可得\[\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}\right)x^2+\dfrac{2km}{b^2}x+\dfrac{m^2}{b^2}-1=0,\]这样就有\[\left(k^2+1\right)\left(\dfrac{m^2}{b^2}-1\right)+km\left(-\dfrac{2km}{b^2}\right)+m^2\left(\dfrac 1{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}\right)=0,\]也即\[1+k^2=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)m^2.\]因此 $O$ 到直线 $AB$ 的距离\[d=\dfrac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\]为定值．
经验证，当直线 $AB$ 的斜率不存在时，也有 $d=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$，因此原命题得证．
经验证，当直线 $AB$ 的斜率不存在时，也有 $d=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$，因此原命题得证．
答案
解析
备注
