查看数据源：59ba35d398483e0009c73194
求所有的实数 $\theta$ 的值，使数列 $a_n=\cos \left(2^{n-1}\cdot \theta\right)$（$n=1,2\cdots$）中每一项都为负数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    任意角的三角函数定义
  • 知识点
    >
    数列
    >
    数列极限
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    递推与递归
【答案】
$2k\pi\pm \dfrac{2\pi}3,k\in\mathbb Z$
【解析】
令 $x=2^{n-1}\theta$，则 $\theta=\dfrac x{2^{n-1}}$，反向考虑，先考虑 $\theta\in[0,2\pi)$ 的情形．
$x$ 的终边不落在第一四象限（包含 $y$ 轴及 $x$ 轴正半轴上），将各个象限编号为 $1,2,3,4$，允许取的区域用括号表示，记为\[1,(2),(3),4.\]将每个象限都 $2$ 等分，依次标上 $1,2,3,4,1,2,3,4$，那么 $\dfrac 12x$ 的终边不能落在所有标记为 $1,4$ 的区域，将所有的区域重新编号为 $1,2,3,4,5,6,7,8$，允许取的区域用括号表示，记为\[1,2,(3),4,5,(6),7,8.\]再将当前的每个区域 $2$ 等分，依次标上 $1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8$，那么 $\dfrac 14x$ 的终边不能落在所有标记为 $1,2,4,5,7,8$ 的区域，将所有的区域重新编号为 $1,2,3,4,5,6,7,8$，允许取的区域用括号表示，记为\[1,2,3,4,5,(6),7,8,9,10,(11),12,13,14,15,16.\]一般的，可得 $\dfrac 1{4^n}x$ 的情形下允许取的区域的编号为\[2+4+16+\cdots+4^n=2+\dfrac 43\left(4^n-1\right),\]以及\[3+8+32+\cdots+2\cdot 4^n=3+\dfrac 83\left(4^n-1\right).\]也即\[\left(\dfrac{1+\dfrac 43\left(4^n-1\right)}{4^{n+1}}\cdot 2\pi,\dfrac{2+\dfrac 43\left(4^n-1\right)}{4^{n+1}}\cdot 2\pi\right)\cup\left(\dfrac{2+\dfrac 83\left(4^n-1\right)}{4^{n+1}}\cdot 2\pi,\dfrac{3+\dfrac 83\left(4^n-1\right)}{4^{n+1}}\cdot 2\pi\right),\]当 $n\to \infty$ 时，可得 $\theta$ 只可能取 $\dfrac{2\pi}3$ 和 $\dfrac{4\pi}3$．
再考虑 $\mathbb R$ 的情形，所有可能的实数 $\theta=2k\pi\pm \dfrac{2\pi}3,k\in\mathbb Z$．
答案 解析 备注
0.169417s