已知 $(1+\sqrt 2)^{2017}=a+\sqrt 2\cdot b$，$a,b\in\mathbb N^*$，求 $a+b$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac {\sqrt 2}4\left[(1+\sqrt 2)^{2018}+(1-\sqrt 2)^{2018}\right]$
【解析】
因为\[(1+\sqrt 2)^{2017}=a+\sqrt 2b,(1-\sqrt 2)^{2017}=a-\sqrt 2b,\]所以\[a=\dfrac 12[(1+\sqrt 2)^{2017}+(1-\sqrt 2)^{2017},b=\dfrac 1{2\sqrt 2}[(1+\sqrt 2)^{2017}-(1-\sqrt 2)^{2017}].\]因此\[\begin{split} a+b=&a_{2017}+b_{2017}=\dfrac{2+\sqrt 2}4\cdot (1+\sqrt 2)^{2017}+\dfrac{2-\sqrt 2}4\cdot (1-\sqrt 2)^{2017}\\=&\dfrac {\sqrt 2}4\left[(1+\sqrt 2)^{2018}+(1-\sqrt 2)^{2018}\right].\end{split} \]
答案
解析
备注
