证明：
【难度】
【出处】
无
【标注】
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设 $\triangle ABC$ 的三条边长分别为 $a,b,c$，面积为 $\Delta$，则有不等式\[a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt 3\cdot \Delta.\]标注答案略解析应用海伦公式和均值不等式即可证明，有\[\begin{split}
4\Delta&=\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\
&\leqslant \sqrt{(a+b+c)\cdot \left(\dfrac{a+b+c}3\right)^3}\\
&=\dfrac{(a+b+c)^2}{3\sqrt 3}\\
&\leqslant \dfrac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt 3}
,\end{split}\]于是命题得证． -
设 $\triangle ABC$ 的三条边长分别为 $a,b,c$，面积为 $\Delta$，则有不等式\[a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt 3\cdot \Delta +(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.\]标注答案略解析事实上，利用内切圆代换可以得到更强的哈德威格尔（$Hadwiger$）不等式．设 $u=\dfrac{-a+b+c}2$，$v=\dfrac{a-b+c}2$，$w=\dfrac{a+b-c}2$，则\[a^2+b^2+c^2-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2=4(uv+vw+wu),\]而由海伦公式，有\[\Delta=\sqrt{uvw(u+v+w)},\]因此\[\begin{split}(uv+vw+wu)^2-3\Delta^2&=(uv+vw+wu)^2-3uvw(u+v+w)\\
&=u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2-u^2vw-uv^2w-uvw^2\\
&=\dfrac{(uv-vm)^2+(vw-wu)^2+(wu-uv)^2}2\\
&\geqslant 0
,\end{split}\]于是命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
