已知 $(1+\sqrt 2)^{2017}=a+\sqrt 2\cdot b$，$a,b\in\mathbb N^*$，求 $a+b$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac {\sqrt 2}4\left[(1+\sqrt 2)^{2018}+(1-\sqrt 2)^{2018}\right]$
【解析】
设 $(1+\sqrt 2)^n=a_n+\sqrt 2\cdot b_n$，则考虑到\[(1+\sqrt 2)^{n+1}=\left(a_n+\sqrt 2\cdot b_n\right)(1+\sqrt 2)=a_n+2b_n+\sqrt 2\cdot \left(a_n+b_n\right),\]于是\[\begin{aligned}a_{n+1}=a_n+2b_n,\\ b_{n+1}=a_n+b_n,\end{aligned}\]进而\[\begin{aligned}a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n,\\ b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n.\end{aligned}\]容易计算得 $a_1=1$，$a_2=3$，$b_1=1$，$b_2=2$，于是利用特征根法可以解得\[\begin{aligned}a_n&=\dfrac 12\left[(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n\right],\\ b_n&=\dfrac{\sqrt 2}4\left[(1+\sqrt 2)^n-(1-\sqrt 2)^n\right],\end{aligned}\]因此\[\begin{split} a+b=&a_{2017}+b_{2017}=\dfrac{2+\sqrt 2}4\cdot (1+\sqrt 2)^{2017}+\dfrac{2-\sqrt 2}4\cdot (1-\sqrt 2)^{2017}\\=&\dfrac {\sqrt 2}4\left[(1+\sqrt 2)^{2018}+(1-\sqrt 2)^{2018}\right].\end{split} \]
答案
解析
备注
