已知 $a,b,c\geqslant 0$ 且 $a+b+c=1$，$1<\lambda<\mu$，求 $\left(a+\lambda b+\mu c\right)\left(a+\dfrac{b}{\lambda}+\dfrac{c}{\mu}\right)$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[1,\dfrac{(1+\mu)^2}{4\mu}\right]$
【解析】
一方面，有\[\begin{split}\left(a+\lambda b+\mu c\right)\left(a+\dfrac{b}{\lambda}+\dfrac{c}{\mu}\right)&=a^2+b^2+c^2+\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)ab+\left(\dfrac{\lambda}{\mu}+\dfrac{\mu}{\lambda}\right)bc+\left(\mu+\dfrac{1}{\mu}\right)ca\\
&\geqslant a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\\
&= (a+b+c)^2,\end{split}\]等号当 $(a,b,c)=(1,0,0)$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $1$．
另一方面，有\[\begin{split}\left(a+\lambda b+\mu c\right)\left(a+\dfrac{b}{\lambda}+\dfrac{c}{\mu}\right)&=\dfrac{1}{\mu}\left(a+\lambda b+\mu c\right)\left(\mu a+\dfrac{\mu}{\lambda} b+ c\right)\\
&\leqslant \dfrac{1}{\mu}\cdot \left[\dfrac{\left(1+\mu\right)a+\left(\lambda+\dfrac{\mu}{\lambda}\right)b+\left(\mu+1\right)c}{2}\right]^2\\
&\leqslant \dfrac{1}{\mu}\cdot \left[\dfrac{1+\mu}2\cdot (a+b+c)\right]^2\\
&=\dfrac{(1+\mu)^2}{4\mu},\end{split}\]等号当 $\left(a,b,c\right)=\left(\dfrac 12,0,\dfrac 12\right)$ 时取得，因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{(1+\mu)^2}{4\mu}$．
综上所述，所求代数式的取值范围是 $\left[1,\dfrac{(1+\mu)^2}{4\mu}\right]$．
&\geqslant a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\\
&= (a+b+c)^2,\end{split}\]等号当 $(a,b,c)=(1,0,0)$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $1$．
另一方面，有\[\begin{split}\left(a+\lambda b+\mu c\right)\left(a+\dfrac{b}{\lambda}+\dfrac{c}{\mu}\right)&=\dfrac{1}{\mu}\left(a+\lambda b+\mu c\right)\left(\mu a+\dfrac{\mu}{\lambda} b+ c\right)\\
&\leqslant \dfrac{1}{\mu}\cdot \left[\dfrac{\left(1+\mu\right)a+\left(\lambda+\dfrac{\mu}{\lambda}\right)b+\left(\mu+1\right)c}{2}\right]^2\\
&\leqslant \dfrac{1}{\mu}\cdot \left[\dfrac{1+\mu}2\cdot (a+b+c)\right]^2\\
&=\dfrac{(1+\mu)^2}{4\mu},\end{split}\]等号当 $\left(a,b,c\right)=\left(\dfrac 12,0,\dfrac 12\right)$ 时取得，因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{(1+\mu)^2}{4\mu}$．
综上所述，所求代数式的取值范围是 $\left[1,\dfrac{(1+\mu)^2}{4\mu}\right]$．
答案
解析
备注
