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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21352 590c0ea8d42ca7000853757d 高中 解答题 高中习题 想象把一个半径为 $1$ 的单位球放进另一个半径为 $r$（$r>0$）的大球中滚动，那么大球内壁中的任何一个点都可以被小球碾压，也就是对球体而言，表面（面积为 $S=4\pi r^2$）上安全的区域面积 $P$ 为 $0$，于是我们说半径为 $r$ 的球的安全系数$$\lambda (r)=\dfrac {P}{S}=0.$$而棱长为 $a$ 的正方体安全系数会好一些，为$$\lambda (a)=4\cdot\dfrac{a-1}{a^2},a>2,$$现在的问题是，相同表面积的正方体和正四面体，哪个安全系数高一些？ 2022-04-17 20:11:08
21114 5c6a44ff210b281dbaa93397 高中 解答题 自招竞赛 三个 $12\operatorname{cm}\times 12\operatorname{cm}$ 的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成 $A$，$B$ 两片，如图所示．把这六片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体，求这个多面体的体积（单位：${{\operatorname{cm}}^{3}}$）． 2022-04-17 20:01:06
20600 5c8f5668210b286d074541ca 高中 解答题 自招竞赛 在下图中，外部的正方形 $S$ 边长为40。较小的正方形 ${S}'$ 边长为15，与大正方形有相同的中心且对应边平行。 $S$ 各边的中点分别与和它们最近的 ${S}'$ 的两个顶点相连，形成了图中所示的内接于 $S$ 的四角星。将四角星剪下并以 ${S}'$ 为底面折叠成四棱锥。求该四棱锥的体积。 2022-04-17 20:19:01
20583 5c908748210b286d125ef3ef 高中 解答题 自招竞赛 纸做的等边三角形 $\Delta ABC$ 边长为 $12$ 。将三角形折叠使得 $A$ 落在 $BC$ 上，距离 $B$ $9$ 的位置。折痕的长度可以表示为 $\frac{m\sqrt{p}}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数，$p$ 为没有平方因子的正整数。求 $m+n+p$ 2022-04-17 20:10:01
17183 5e65cdab210b280d36111844 高中 解答题 高考真题 图 $1$ 是由矩形 $ADEB,Rt\triangle ABC$ 和菱形 $BFGC$ 组成的一个平面图形，其中 $AB=1,BE=BF=2,\angle FBC=60^\circ$，将其沿 $AB,BC$ 折起来使得 $BE$ 与 $BF$ 重合，连结 $DG$，如下图．
（1）证明：图 $2$ 中的 $A,C,G,D$ 四点共面，且平面 $ABC\perp$ 平面 $BCGE$；
（2）求图 $2$ 中的四边形 $ACGD$ 的面积．		 2022-04-17 19:58:29
17178 5e61b208210b280d3611178a 高中 解答题 高考真题 如图，长方体 $ABCD–A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $AA_1$ 上，$BE\perp EC_1$．
（1）证明：$BE\perp $ 平面 $EB_1C_1$；
（2）若 $AE=A_1E,AB=3$，求四棱锥 $E-BB_1C_1C$ 的体积．		 2022-04-17 19:55:29
17169 5e5f1bf6210b280d361116f6 高中 解答题 高考真题 如图，直四棱柱 $ABCD–A_1B_1C_1D_1$ 的底面是菱形，$AA_1=4,AB=2,\angle BAD=60^\circ$，$E,M,N$ 分别是 $BC,BB_1,A_1D$ 的中点．（1）证明：$MN\parallel $ 平面 $C_1DE$；
（2）求点 $C$ 到平面 $C_1DE$ 的距离．		 2022-04-17 19:49:29
17162 5e5c786a210b280d3611165d 高中 解答题 高考真题 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形，$\triangle PCD$ 为等边三角形，平面 $PAC\perp $ 平面 $PCD$，$PA\perp CD,CD=2,AD=3$．图片
（I）设 $G,H$ 分别为 $PB,AC$ 的中点，求证：$GH\parallel $ 平面 $PCD$；
（II）求证：$PA\perp $ 平面 $PCD$；
（III）求直线 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成角的正弦值．		 2022-04-17 19:46:29
17143 5e4f656c210b280d37822277 高中 解答题 高考真题 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp $ 平面 $ABCD$，底面 $ABCD$ 为菱形，$E$ 为 $CD$ 的中点．
（I）求证：$BD\perp $ 平面 $PAC$；
（II）若 $\angle ABC=60^\circ$，求证：平面 $PAB\perp $ 平面 $PAE$；
（III）棱 $PB$ 上是否存在 $F$，使得 $CF\parallel$ 平面 $PAE$？说明理由．		 2022-04-17 19:37:29
17132 5e49fe0c210b280d36111178 高中 解答题 高考真题 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$D,E$ 分别为 $BC,AC$ 的中点，$AB=BC$．求证：
（1）$A_1B_1\parallel$ 平面 $DEC_1$；
（2）$BE\perp C_1E$．		 2022-04-17 19:30:29
17105 5e3cd0a9210b286bd53192a1 高中 解答题 高考真题 下图是由矩形 $ADEB,Rt\triangle ABC$ 和菱形 $BFGC$ 组成的一个平面图形，其中 $AB=1,BE=BF=2,\angle FBC=60^\circ$，将其沿 $AB,BC$ 折起来使得 $BE$ 与 $BF$ 重合，连结 $DG$，如下图．
（1）证明：上图中的 $A,C,G,D$ 四点共面，且平面 $ABC\perp$ 平面 $BCGE$；
（2）求上图中的二面角 $B-CG-A$ 的大小．		 2022-04-17 19:16:29
17004 599165ca2bfec200011e1c11 高中 解答题 高考真题 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，且 $\angle{BAP}=\angle{CDP}=90^{\circ}$．  2022-04-17 19:18:28
16998 599165ca2bfec200011e1b44 高中 解答题 高考真题 如图，几何体是圆柱的一部分，它是矩形 $ABCD$（及其内部）以 $AB$ 边所在直线为旋转轴旋转 $120^{\circ}$ 得到的，$G$ 是 $\widehat{DF}$ 的中点．  2022-04-17 19:14:28
16992 599165ca2bfec200011e1af3 高中 解答题 高考真题 如图，在三棱锥 $A-BCD$ 中，$AB \perp AD$，$BC\perp BD$，$\mbox {平面}ABD \perp \mbox {平面}BCD$，点 $E$，$F$（$E$ 与 $A$，$D$ 不重合）分别在棱 $AD$，$BD$ 上，且 $EF\perp AD$．  2022-04-17 19:11:28
16989 599165ca2bfec200011e1af6 高中 解答题 高考真题 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 $\mathrm{I}$ 和正四棱台形玻璃容器 $\mathrm{II}$ 的高均为 $32 \mathrm {cm}$，容器 $\mathrm{I}$ 的底面对角线 $AC$ 的长为 $10\sqrt 7 \mathrm {cm}$，容器 $\mathrm{II}$ 的两底面对角线 $EG$、$E_1G_1$ 的长分别为 $14 \mathrm {cm}$、$62 \mathrm {cm}$，分别在容器 $\mathrm{I}$ 和容器 $\mathrm{II}$ 中注入水，水深均为 $12 \mathrm {cm}$，现有一根玻璃棒 $l$，且长度为 $40 \mathrm {cm}$．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计．）  2022-04-17 19:10:28
16982 599165ca2bfec200011e1afd 高中 解答题 高考真题 如图，在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AA_1\perp \mbox{平面}ABCD$，且 $AB=AD=2$，$AA_1=\sqrt 3$，$\angle BAD=120^{\circ}$．  2022-04-17 19:06:28
16979 599165ca2bfec200011e1ab4 高中 解答题 高考真题 如图，已知四棱锥 $P-ABCD$，$\triangle PAD$ 是以 $AD$ 为斜边的等腰直角三角形，$BC \parallel AD$，$CD \perp AD$，$PC=AD=2DC=2CB$，$E$ 为 $PD$ 的中点．  2022-04-17 19:04:28
16973 599165c92bfec200011e19f2 高中 解答题 高考真题 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp\mbox{底面}ABC$，$\angle BAC=90^\circ$．点 $D,E,N$ 分别为棱 $PA,PC,BC$ 的中点，$M$ 是线段 $AD$ 的中点，$PA=AC=4$，$AB=2$．  2022-04-17 19:00:28
16967 599165c92bfec200011e19b4 高中 解答题 高考真题 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形，平面 $PAD \perp $ 平面 $ABCD$，点 $M$ 在线段 $PB$ 上，$PD\parallel$ 平面 $MAC$，$PA=PD=\sqrt 6$，$AB=4$．  2022-04-17 19:56:27
16963 599165c92bfec200011e1938 高中 解答题 高考真题 如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面为直角三角形，两直角边 $AB$ 和 $AC$ 的长分别为 $4$ 和 $2$，侧棱 $AA_1$ 的长为 $5$．  2022-04-17 19:55:27
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