如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，且 $\angle{BAP}=\angle{CDP}=90^{\circ}$．
【难度】
【出处】
2017年高考全国乙卷（理）
【标注】
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证明：$\mbox{平面}PAB\perp\mbox{平面}PAD$；标注答案略解析由已知 $\angle{BAP}=\angle{CDP}=90^{\circ}$，得 $AB\perp AP$，$CD\perp PD$．
又 $AB\parallel CD$，
所以 $AB\perp PD$，
因为 $AP\cap PD=P$，
从而 $AB\perp $ 平面 $PAD$．
又因为 $AB\subset $ 平面 $PAB$，
所以平面 $PAB\perp $ 平面 $PAD$． -
若 $PA=PD=AB=DC$，$\angle{APD}=90^{\circ}$，求二面角 $A-PB-C$ 的余弦值．标注答案$-\dfrac{\sqrt 3}{3}$解析在平面 $PAD$ 内作 $PF\perp AD$，垂足为 $F$，由（1）可知，$AB\perp $ 平面 $PAD$，故 $AB\perp PF$，可得 $PF\perp $ 平面 $ABCD$，以 $F$ 为坐标原点，$\overrightarrow{FA}$ 的方向为 $x$ 轴正方向，$\left|\overrightarrow{AB}\right|$ 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 $F-xyz$．
则$$A\left(\dfrac{\sqrt 2}{2},0,0\right),P\left(0,0,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right),B\left(\dfrac{\sqrt 2}{2},1,0\right),C\left(-\dfrac{\sqrt 2}{2},1,0\right).$$所以$$\overrightarrow{PC}=\left(-\dfrac{\sqrt 2}{2},1,-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right),\overrightarrow{CB}=(\sqrt 2,0,0),\overrightarrow{PA}=\left(\dfrac{\sqrt 2}{2},0,-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right),\overrightarrow{AB}=(0,1,0).$$设 $\overrightarrow n=(x,y,z)$ 是平面 $PCB$ 的法向量，则$$\begin{cases}\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow {PC}=0,\\ \overrightarrow n\cdot \overrightarrow{CB}=0,\end{cases}$$即$$\begin{cases}-\dfrac{\sqrt 2}{2}x+y-\dfrac{\sqrt 2}{2}z=0,\\ \sqrt 2 x=0,\end{cases}$$可取 $\overrightarrow{n}=(0,-1,-\sqrt 2)$．
设 $\overrightarrow m=(x_1,y_1,z_1)$ 是平面 $PAB$ 的法向量，则$$\begin{cases}\overrightarrow m \cdot \overrightarrow{PA}=0,\\ \overrightarrow m \cdot \overrightarrow{AB}=0,\end{cases}$$即$$\begin{cases}\dfrac{\sqrt 2}{2}x-\dfrac{\sqrt 2}{2}z=0,\\ y=0,\end{cases}$$可取 $\overrightarrow m=(1,0,1)$．
所以$$\cos<\overrightarrow m,\overrightarrow n >=\dfrac{\overrightarrow n\cdot \overrightarrow m}{\left|\overrightarrow m\right| \left|\overrightarrow n\right|}=-\dfrac{\sqrt 3}{3},$$由图可知二面角 $A-PB-C$ 为钝角，所以其余弦值为 $-\dfrac{\sqrt 3}{3}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
